28.2.2 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦利用方向角、坡度解直角三角形，通过复习方向角概念导入，搭建从已有知识到实际应用的学习支架，衔接解直角三角形方法与现实问题。 特色在于以海轮航行、山坡坡度等实例构建模型，培养几何直观与模型意识，通过独立计算、板书展示等方法提升应用能力，助力学生用数学语言表达现实，为教师提供清晰教学流程与实例参考。

九年级下册教案 28.2.2 应用举例 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 教学内容 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 课时 1 核心素养目标 1.经历探索学习测量中方位角、坡角、坡度的概念，培养学生的抽象能力与几何直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，理解自然现象背后的数学原理. 2.通过学习利用方向角、坡度解直角三角形并解决实际问题，培养用数学的基本方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神. 3.通过应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题，形成构建数学模型的意识和观念，能够精确地描述日常生活中的数量关系与空间形式. 知识目标 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系； 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题． 教学重点 知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系. 教学难点 能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、复习回顾 导入新知 复习引入 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图： 二、探究新知 知识点一：解与方向角有关的问题 例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 师生活动：教师引导学生，共同分析解题思路， 学生独立完成计算，教师巡视. 解：如图，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25°≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34°方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 师生活动：教师引导学生共同分析解题思路，学生独立计算，教师巡视. 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF 的长是 A 到 BC 上所有点中的最短距离. ∵ BD∥CE∥AF， ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－ 30°= 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－ 60° = 30°=∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． ∴ AF = AC · cos30°= 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 练习1.如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： )？ 师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；学生完成后教师适当讲解. 知识点二：解与坡度有关的问题 观察与思考 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ 3.坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 练习 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α=____度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______. 师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；选一名学生作答，其他同学判断正误. 例3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2 . 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？ 师生活动：学生独立完成计算，跟随教师引导师生共同完成例题. 例4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶ 3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求： (1) 斜坡 CD 的坡角α(精确到 1°)； (2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m). 师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板书，教师巡视. 三、当堂练习 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °． 3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60°方向上．航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 . 4. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.01 米， 1.732 ， 1.414).   5.如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？ 设计意图：通过复习回顾方位及方向角的概念，为学习利用方向角解直角三角形并解决实际问题做准备. 设计意图：通过解决例题，进一步巩固方位角的概念；锻炼自主学习能力和解题能力，在解题过程中自发感悟方法与经验. 设计意图：通过例题，进一步帮助掌握方位角的概念；感受解直角三角形在解决实际问题中的作用；提高解题能力. 设计意图：锻炼学生利用方位角的概念解直角三角形，从而解决简单实际问题的的能力. 设计意图：通过实际情境问题，引发学生思考，发展空间观念；教师顺势引出坡角与坡度的概念以及坡度与坡角的关系，提高抽象能力、形成构建数学模型的意识和观念. 设计意图：通过练习帮助学生掌握坡角与坡度的概念及关系；学会应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形. 设计意图：通过例题，锻炼学生应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形；提高解题能力. 设计意图：考查学生应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形的能力，以及对这类题型解题方法的掌握. 设计意图：考查学生应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形的能力. 设计意图：考查学生应用方位角的概念解直角三角形的能力. 设计意图：考查综合应用方位角的概念和方程思想，解决简单实际问题的能力. 设计意图：考查学生对坡角与坡度的概念及关系的掌握；锻炼应用解直角三角形的知识解决与坡度有关的问题. 设计意图：考查学生对方位角的概念的掌握；锻炼应用解直角三角形的知识解决与方位角有关的问题. 板书设计 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α . 2. 坡度 (或坡比) 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l . 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6. 3.坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习. 学科网（北京）股份有限公司 $