28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦解直角三角形的简单应用，以高跟鞋鞋跟高度与夹角关系的生活情境导入，衔接锐角三角函数知识，通过登山缆车、秋千等实例搭建支架，引导学生将实际问题抽象为数学模型。 特色在于以生活情境培养数学眼光，如高跟鞋夹角计算，通过合作探究发展推理意识，像缆车高度求解，建立模型提升应用意识，帮助学生形成用数学解决实际问题的能力，为教师提供清晰教学流程与实例。

九年级下册教案 28.2.2 应用举例 第1课时 解直角三角形的简单应用 教学内容 第1课时 解直角三角形的简单应用 课时 1 核心素养目标 1.经历探索学习解直角三角形的简单应用，培养学生的抽象能力、几何直观与创新意识；逐步培养用数学眼光观察世界的习惯，形成对数学的好奇心和兴趣，发展创新意识. 2.通过探索直角三角形的简单应用，发展符号运算能力和推理意识，探究现实情境所蕴含的数学规律，经历“再发现”过程. 3.通过探索直角三角形的简单应用，能够把实际问题中构建普适的数学模型，形成数学表达和交流能力，形成合理的决策，发展实践能力. 知识目标 1.通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用； 2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解． 教学重点 通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用. 教学难点 能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、创设情境 导入新知 情境引入 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”. 美国某人体工程学研究人员调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 cm 左右的高跟鞋. 但专家认为穿 6 cm 以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为 15 cm，则鞋跟约在 3 cm 左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11° 左右时，人脚的感觉最舒适. 你知道专家是怎样计算的吗？ 二、探究新知 知识点一：利用解直角三角形解决简单实际问题 合作探究 探究一：棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你知道缆车上升的垂直高度是多少吗? 探究二：棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200 m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1 m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ 师生活动：教师引导学生将实际问题抽象为数学问题；画出相应平面图形并计算，教师巡视. 例1 “神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现交会对接的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6400 km，π取 3.142，结果取整数）？ 师生活动：学生独立思考并计算，选一名学生板书，教师巡视. 归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据题目条件，解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 练习 1.“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点 1000 里处的景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗 (设 代表地面，O 为地球球心，C 是地面上一点， = 500 km，地球的半径为 6 370 km，cos4.5°= 0.997)？ 师生活动：学生独立完成计算，教师巡视后适当讲解. 例2 如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 师生活动：教师引导学生共同分析解题思路—— 根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度. 因此，本题可抽象为：已知 DE = 0.5 m，AD = AB = 3 m，∠CAB = 60°，∠ACB 为直角，求 CE 的长； 学生独立计算，教师巡视. 练习2. 如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆. 拉线CE和地面成 60° 角，在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30°，已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求拉线 CE 的长. 师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书，教师巡视. 三、当堂练习 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24 米，那么旗杆的高度约是 ( ) 2. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点 B 到树根部 C 的距离为 4 米，倒下部分 AB 与 地平面BC的夹角为45°，则这棵大树原高 米. 3. 如图，要测量点 B 到河岸 AD 的距离，在 A 点测得∠BAD = 30°，在 C 点测得∠BCD = 60°，又测得AC = 100米，则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( ) 4. (1) 小华去实验楼做实验，两幢实验楼的高度 AB = CD = 20 m，两楼间的距离 BC = 15 m，已知太阳光与水平线的夹角为 30°，求南楼的影子在北楼上有多高； (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光不受南楼的影响，那么楼间距 BC 长至少应为多少米? 设计意图：通过精美的图片和高跟鞋历史故事的情境导入，吸引学生的课堂注意力；激发学生的学习兴趣和探索欲望. 设计意图：通过问题探究余解答，引导学生归纳利用解直角三角形解决简单实际问题的一般方法；考查学生的抽象能力和自主学习能力；锻炼应用能力和运算能力. 设计意图：通过例题，进一步帮助归纳利用解直角三角形解决简单实际问题的一般方法；感受锐角三角函数在解题实际问题中的作用. 设计意图：锻炼学生利用解直角三角形解决简单实际问题的的能力；感受锐角三角函数在解题实际问题中的作用. 设计意图：通过例题，锻炼将实际问题抽象为数学问题，并画出相应图形；提高解题能力. 设计意图：考查学生的抽象能力和对这类题型解题方法的掌握. 设计意图：题1、2考查学生利用解直角三角形解决简单实际问题的能力，锻炼抽象能力和运算能力. 设计意图：考查对特殊角的三角函数值的掌握；锻炼学生利用解直角三角形解决简单实际问题的能力. 设计意图：考查学生抽象作图并利用解直角三角形解决实际问题的能力；锻炼作辅助线构造相应直角三角形的能力. 板书设计 第1课时 解直角三角形的简单应用 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据题目条件，解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $