28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的简单应用”，通过停车场栏杆、滑梯等生活实例导入，衔接锐角三角函数定义，以具体问题为支架，帮助学生从概念过渡到实际应用。 其亮点在于情境丰富，融合露营天幕、传统文化“碓”、机器人舞蹈等场景，分层练习（A/B/C）助力梯度提升。通过抽象实际问题为直角三角形模型（数学眼光），规范推理步骤（数学思维），用三角函数公式表达关系（数学语言），提升学生应用能力，为教师提供结构化教学素材。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章　锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第1课时　解直角三角形的简单应用 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点　利用解直角三角形解决简单实际问题 1. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕 点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4m.若栏杆 的旋转角∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为(单 位：m)(　B　) A. B. 4 sin α C. D. 4 cos α 第1题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. 如图是某公园滑梯的横截面图，AB是台阶，BE 是一个平台，ED是滑道，立柱BC，EF垂直于地 面AD且高度相同，AB与地面AD的夹角为45°， ED与地面AD的夹角为37°.若AC＝3m，则滑道 ED的长度约为 m(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75). 5　 第2题图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. (2025·上海中考)如图，某公司需要员工上班时通 过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描 仪(线段AB)的竖直高度为2.7m，某人(线段CD)身 高为1.8m，扫描仪测得∠A＝53°，那么该人与扫 描仪的水平距离为 m.(参考数据： sin53°≈0.8， cos 53°≈0.6，tan53°≈ 1.33，结果精确到0.1m) 1.2　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 第4题图 4. 如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB， BC的长度都为200m，一位同学乘滑雪板沿此轨道 由A点滑到了C点.若AB与水平面的夹角α为 30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高 度为 m(结果保留根号). 100(1＋ )　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度， 在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC ＝150°，BC＝1600m，∠BCD＝105°，则C， D两点的距离是 m. 第5题图 800 　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 新情境露营“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，既起到遮阳防雨的作用，又开放通风.图①是一种“天幕”，图②是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，AB⊥BF于点B，EF⊥BF于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，∠CAD＝120°. (1)求遮阳宽度CD的长； 解：(1)∵AC＝AD＝2m，∠CAD＝120°， OA⊥CD， ∴∠OCA＝∠ODA＝AC＝2m，∠C＝30°， ∴OC＝AC× cos 30 解：(1)∵AC＝AD＝2m， ∠CAD＝120°， OA⊥CD， 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴∠OCA＝∠ODA＝ ＝30°， OC＝ OD＝ CD. 在Rt△AOC中，AC＝2m，∠C＝30°， ∴OC＝AC× cos 30°＝2× ＝ (m). ∴CD＝2OC＝2 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)将拉绳AE固定在天幕杆EF上，若支杆AB与天 幕杆EF的横向距离BF＝ m，求拉绳AE的长. 解：(2)如图②，过点E作EG⊥AB，垂足为G，则 EG＝BF＝ m， ∴AE＝ ＝ × ＝3(m). 答：拉绳AE的长为3m. 解：(2)如图②，过点E作EG⊥AB，垂足为G，则 EG＝BF＝ m， ∴AE＝ ＝ × ＝3(m). 答：拉绳AE的长为3m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 新情境传统文化(2025·哈尔滨一模)图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 ⁠ 分米(结果用含根号的式子表示). (6－2 )　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. (2025·凉山州中考)如图，某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°.(参考数据： sin 18.17°≈0.31， cos 18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33， sin 36°≈0.59， cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米) (1)求直吊臂OB的长. 解：(1)由题意得BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，OB＝ ＝ ≈10(米). 答：直吊臂OB的长约为10米. 解：(1)由题意得BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，OB＝ ＝ ≈10(米). 答：直吊臂OB的长约为10米. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)由题意得BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，OB＝ ＝ ≈10(米). 答：直吊臂OB的长约为10米. (2)直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 8. (2025·凉山州中考)如图，某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°.(参考数据： sin 18.17°≈0.31， cos 18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33， sin 36°≈0.59， cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米) 解：(2)如图，记旋转后的点B， M的对应点分别为B'，M'， 延长B'M'交OM于点F， 过点B作BE⊥B'F于点E， 则∠BEF＝90°，∠OB'F＝ 36°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 由题意得B'M'＝BM＝3米，OB'＝OB＝10米， ∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°. ∴四边形EFMB为矩形. ∴BM＝EF＝3米. 在Rt△B'OF中，B'F＝OB'× cos ∠OB'F≈10×0.81＝8.1(米)， ∴M'F＝B'F－B'M'＝8.1－3＝5.1≈5(米). ∴货物M上升了约5米. 在Rt△B'OF中，B'F＝OB'× cos ∠OB'F≈10×0.81＝8.1(米)， ∴M'F＝B'F－B'M'＝8.1－3＝5.1≈5(米). ∴货物M上升了约5米. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 新情境秧BOT(2025·石家庄模拟)2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合.机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距.图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm， OC与手臂OB保持垂直，肘关节B 与手绢旋转点O之间的水平宽度为 12cm(即BD的长度). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)求∠ABO的度数. 解：(1)∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°， ∴∠ABN＝45°. 在Rt△BDO中， cos ∠OBD＝ ＝ ＝0.4， ∴∠OBD≈66.4°. ∴∠ABO≈180°－45°－66.4°＝68.6°. 解：(1)∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°， ∴∠ABN＝45°. 在Rt△BDO中， cos ∠OBD＝ ＝ ＝0.4， ∴∠OBD≈66.4°. ∴∠ABO≈180°－45°－66.4°＝68.6°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者的安全距离 范围为30～40cm.在图②中，机器人与舞者之间距 离为100cm.问此时手绢端点C与舞者的距离是否在 规定范围内？并说明理由.(结果保留一位小数，参 考数据： sin 66.4°≈0.92， cos 66.4°≈0.40， sin 23.6°≈0.40， ≈1.414) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)在规定范围内，理由如下：如图②，过点C 作CE⊥OD于点E，则∠OEC＝90°. ∵OC⊥OB， ∴∠BOC＝90°. ∵∠OBD≈66.4°， ∴∠BOD＝90°－∠OBD≈90°－66.4°＝ 23.6°. ∴∠COE＝90°－∠BOD＝90°－23.6°＝ 66.4°. 解：(2)在规定范围内，理由如下：如图②，过点C 作CE⊥OD于点E，则∠OEC＝90°. ∵OC⊥OB， ∴∠BOC＝90°. ∵∠OBD≈66.4°， ∴∠BOD＝90°－∠OBD ≈90°－66.4°＝ 23.6°. ∴∠COE＝90°－∠BOD＝ 90°－23.6°＝ 66.4°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 在Rt△OEC中，CE＝OC· sin ∠COE≈25×0.92 ＝23(cm). ∵在Rt△ANB中，∠NAB＝45°，AB＝40cm， ∴BN＝AB· sin ∠NAB＝40× ≈28.28(cm). ∴此时手绢端点C与舞者的距离为100－(28.28＋12 ＋23)≈36.7(cm). ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者的安全距离 范围为30～40cm， ∴此时手绢端点C与舞者的距离在规定范围内. 在Rt△OEC中，CE＝OC· sin ∠COE≈25×0.92 ＝23(cm). ∵在Rt△ANB中，∠NAB＝45°，AB＝40cm， ∴BN＝AB· sin ∠NAB＝ 40× ≈28.28(cm). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴此时手绢端点C与舞者的距离为100－(28.28＋12 ＋23)≈36.7(cm). ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者的安全距离 范围为30～40cm， ∴此时手绢端点C与舞者的 距离在规定范围内. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $