28.1 第2课时 余弦函数和正切函数（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学教案聚焦“锐角三角函数”第2课时，核心为余弦、正切函数的概念及应用。通过复习正弦函数中锐角确定时对边与斜边比为定值，提问“其他边比是否确定”，以旧知为支架引入新知，梳理三角函数知识脉络。 特色在于以合作探究为核心，通过相似三角形证明余弦（邻边与斜边比）、正切（对边与邻边比）为常数，培养推理能力（数学思维）。设置“想一想”环节引导发现互余角正切关系，发展创新意识（数学眼光）。多样化练习结合坐标系、圆的切线问题，提升运算能力，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学流程与实用例题。

九年级下册教案 28．1 锐角三角函数 第2课时 余弦函数和正切函数 教学内容 第2课时 余弦函数和正切函数 课时 1 核心素养目标 1.通过余弦、正切的概念的学习，培养学生的抽象概括能力与合情推理能力. 2.通过探索学习余弦、正切的概念，发展运算能力和推理应用意识，能够自主解释论证数学的基本结论与方法，养成讲道理、有条理的思维品质. 3.通过运用锐角三角函数的概念解决有关现实问题，学生可以简约、精确地描述发现的数量关系，形成有意识的数据表达. 知识目标 1．理解并掌握余弦、正切的概念； 2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算． 教学重点 理解并掌握余弦、正切的概念. 教学难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、复习回顾 导入新知 问题引入 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 二、探究新知 知识点一：余弦 合作探究 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？ 为什么？ 师生活动：学生独立思考提出猜想——成立，并在教师的引导下共同完成证明. 我们来试着证明前面的问题： ∵∠A =∠D，∠C =∠F = 90°， ∴∠B =∠E． 从而 sinB = sinE， 因此 归纳： 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cosα = sin(90°－α)． 从而有 sinα = cos(90°－α)． 练习1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13， AC＝12，则 cosA＝ . 2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值． 师生活动：学生独立思考并计算，选一名学生作答，其他同学判断正误. 知识点二：正切 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C = ∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ 师生活动：学生独立完成证明，选学生板书，教师总结归纳. ∵∠A =∠D ，∠C =∠F = 90°， ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. ∴ 归纳： 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图，在直角三角形 ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA， 即 锐角 A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. 想一想 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 师生活动：学生独立思考，共同作答——互为倒数. 练习3. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角α的正切值为_____. 4. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O相切与点 C，若 BC = 4，AB = 5，则 tanA =___. 师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选两名学生汇报答案，其他同学判断正误. 知识点三：锐角三角函数 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，求 sinA，cosA，tanA 的值. 师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选一名学生板书解题过程，教师总结思路. 解：由勾股定理得 练习5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12， AB =13. sinA =______，cosA =______， tanA =____， sinB =______，cosB =______， tanB =____. 师生活动：学生独立思考并计算，共同作答.教师总结——在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值. 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，sinA = ，求 cosA，tanB 的值． 师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选一名学生板书解题过程，教师总结思路. 三、当堂练习 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( ) 2. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70° 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，求sinA，tanA 的值． 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求tanB的值. 设计意图：通过设问，引导学生回顾正弦函数的概念，并引发对本节课内容的思考，激发学习兴趣；培养自主学习习惯. 设计意图：锻炼学生的类比推理和综合应用能力；通过自主探究加深对余弦定理的理解. 设计意图：通过练习，巩固学生对余弦函数的概念的理解与掌握，锻炼计算正弦值和余弦值的能力. 设计意图：考查学生对运用相似进行证明的掌握；锻炼自主探究能力和推理能力. 设计意图：锻炼学生的类比推理能力. 设计意图：通过练习巩固学生对正切函数的概念的理解与掌握，锻炼计算正切值的能力. 设计意图：通过例题，锻炼学生综合应用勾股定理计算正弦值、余弦值和正切值的能力. 设计意图：通过练习进一步巩固锐角三角函数的求值方法，锻炼观察发现和总结能力. 设计意图：锻炼学生综合分析条件计算余弦值和正切值的能力，提高解题能力. 设计意图：考查学生对运用余弦定理计算邻边的掌握. 设计意图：考查学生对锐角三角函数的概念和正弦函数的性质的掌握. 设计意图：考查学生综合应用锐角三角函数的概念，正确进行计算的能力. 设计意图：考查学生综合应用锐角三角函数的概念，正确进行计算的能力. 板书设计 第2课时 余弦函数和正切函数 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，锐角∠A 的大小确定的情况下，cosA，tanA 为定值，与直角三角形的大小无关. 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识. 学科网（北京）股份有限公司 $