28.1 第1课时 正弦函数（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦锐角三角函数中的正弦函数概念及应用，以比萨斜塔倾斜角问题导入，通过山坡水管情境转化为数学问题，从30°、45°特殊角到一般锐角，利用相似三角形推理形成正弦定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以真实情境培养数学眼光，通过相似推理发展推理意识，结合坐标系、网格等实例提升运算能力与应用意识。含知识思维导图，助力学生构建知识体系，为教师提供清晰探究路径与分层练习，提升教学效率。

九年级下册教案 28.1锐角三角函数 第1课时 正弦函数 教学内容 第1课时 正弦函数 课时 1 核心素养目标 1.通过运用正弦函数的知识解决有关现实问题，培养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性. 2.通过探索学习正弦函数的概念，发展运算能力和推理应用意识，能够探究现实情境中蕴含的数学规律. 3.通过运用正弦函数解决有关现实问题，感悟数学与现实世界的交流方式，感悟数据的意义与价值. 知识目标 1．能根据正弦概念正确进行计算； 2．能运用正弦函数解决实际问题． 教学重点 能根据正弦概念正确进行计算. 教学难点 能运用正弦函数解决实际问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、创设情境 导入新知 情境引入 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角α是多少吗？ 师生活动：学生在教师的引导下，共同思考回顾回答问题. 二、探究新知 知识点一：已知直角三角形的边长求正弦值 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度达到35 m，需要准备多长的水管？ 合作探究 从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ 师生活动：学生独立思考并作答，教师总结把实际问题转化成数学问题： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB. 根据“直角三角形中30°角所对的 边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 追问：如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 师生活动：学生独立思考共同作答，教师总结归纳. 归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的 对边与斜边的比都等于 . 思考1： 在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 师生活动：教师引导学生利用含 45°角的直角三角形的性质，得到AC = BC，再利用勾股定理解答；学生独立完成计算，教师总结归纳. 归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 追问：当∠A 是直角三角形中一个大小确定的任意的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 思考2： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 师生活动：学生在教师的引导下，共同分析解题思路：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 归纳： 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 定义总结 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 例如，当∠A＝30° 时，我们有 当∠A＝45° 时，我们有 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值. 师生活动：学生独立思考，选一名学生作答，其他同学判断正误. 练习1.如图，判断对错： 2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA 的值为 ( ) 师生活动：学生独立思考，选一名学生作答，其他同学判断正误. 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角α的正弦值. 师生活动：学生独立思考完成计算，教师总结方法： 在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 知识点二：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 师生活动：教师引导学生分析解题思路， 已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 学生独立完成计算，选学生板书，教师总结方法. 练习3. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ， AB = 6， 那么 BC =_____. 师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视，选两名学生汇报答案，其他同学判断正误. 例4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm， sinA = ，求这个三角形的周长． 师生活动：学生独立思考并作图计算，教师巡视，选一名学生板书解题过程，教师总结思路. 方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 三、当堂练习 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定扩大还是缩小 2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sinA 的值为 ( ) 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0) 在 ⊙A 上，BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =_____. 题4 题5 5.如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求△ABC 的面积. 设计意图：通过著名建筑的历史数据和图片引入，吸引学生的课堂注意力，为后面的学习做铺垫. 设计意图：通过对有关现实问题的思考，锻炼学生的抽象概括能力；在探究的过程中，不自觉感悟正弦函数的概念，培养自主学习能力. 设计意图：锻炼学生的抽象概括能力和综合应用解题的能力. 设计意图：考查学生对已学知识的掌握，锻炼综合应用能力和计算能力. 设计意图：回顾相似三角形的性质，培养学生的类比推理能力和归纳总结能力. 设计意图：通过解答例题，巩固学生对正弦函数的概念的理解与掌握. 设计意图：通过练习，进一步掌握正弦函数的概念. 设计意图：通过练习，锻炼学生根据正弦概念正确进行计算的能力. 设计意图：锻炼学生根据正弦概念正确进行计算的能力，提高解题技巧. 设计意图：通过例题，培养学生掌握求已知锐角的正弦值求直角三角形的边长的方法；总结解题经验. 设计意图：通过练习进一步巩固求已知锐角的正弦值求直角三角形的边长的解题方法. 设计意图：锻炼求已知锐角的正弦值求直角三角形的边长能力，提高解题技巧. 设计意图：题1、2考查学生对正弦函数的概念的掌握，以及根据正弦函数概念正确计算的能力. 设计意图：考查学生综合应用方程思想和勾股定理，并根据正弦概念正确进行计算的能力. 设计意图：考查学生综合已学知识和正弦概念计算正弦值的能力. 设计意图：考查学生综合应用正弦函数的概念进行计算的能力. 板书设计 第1课时 正弦函数 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA. 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用. 学科网（北京）股份有限公司 $