28.1 第1课时 正弦（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十八章锐角三角函数第一节“正弦”，涵盖定义、求法及应用。从直角三角形性质导入，通过中考题、网格题等例题，结合A学习理解、B应用实践、C迁移创新分层练习，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于融入中考真题与原创题，培养应用意识，通过构造直角三角形方法归纳（作高、连直径等）发展几何直观与推理能力。详细解答步骤助力学生掌握逻辑思维，教师可依托分层设计提升教学效率，促进学生数学思维与表达能力提升。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章　锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第1课时　正弦 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 第1题图 知识点一　正弦的定义及求法 1. (2025·云南中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°.若AB＝13，BC＝5，则 sin A＝(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin α的值是(　A　) A. B. C. D. 第2题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都缩 小为原来的 ，则∠A的正弦值(　D　) A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c.若c＝2a，则∠A的正 弦值为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5. 教材P64练习T2变式如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则 sin B的值为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边 上一点，DE⊥AB于点E，且DE∶AD＝1∶3，求 sin B的值. 解：∵∠C＝90°， ∴∠B＋∠A＝90°. ∵DE⊥AB于点E， ∴∠ADE＋∠A＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 ∴∠ADE＝∠B. ∵DE∶AD＝1∶3.令DE＝x，AD＝3x， ∴AE＝ ＝2 x. ∴ sin ∠ADE＝ ＝ ＝ . ∴ sin B＝ . ∴ sin B＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 知识点二　已知正弦值求其他 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ . (1)若BC＝10，则AB的长为 ⁠； (2)若AB＝39，则AC的长为 ⁠. 26　 36　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8. 原创题 如图，在平面直角坐标系中，已知点P是第四象限的一点，O为坐标原点，若OP＝6， sin ∠1＝ ，则点P的坐标为 　(2 ，－4)　. (2 ，－4)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ， BC＝3，求 sin B的值及△ABC的面积. 解：∵ sin A＝ ， ∴ ＝ . ∴AB＝3BC＝3×3＝9. ∴AC＝ ＝ ＝ ＝6 . ∴ sin B＝ ＝ ＝ ，S△ABC＝ AC·BC＝ ×6 ×3＝9 . 解：∵ sin A＝ ， ∴ ＝ . ∴AB＝3BC＝3×3＝9. ∴AC＝ ＝ ＝ ＝6 . ∴ sin B＝ ＝ ＝ ，S△ABC＝ AC·BC＝ ×6 ×3＝9 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10. (2025·保定期末)如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB于点D. 若CD∶AC＝3∶4，则 sin ∠BCD的值是(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11. 新考向模块综合如图，P是反比例函数y＝ (x＞0)图象上一点，PH⊥x轴于点H. 若OP＝5， sin ∠POH＝ ，则k＝ ⁠. 第11题图 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12. 已知AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若 AE∶CF＝3∶2，则 sin ∠BAC∶ sin ∠ACB ＝ ⁠. 13. 构造法 (2025·包头期末)如图，△ABC的 顶点都在方格纸的格点上，则 sin A 的值为 ⁠. 2∶3　 　 第13题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 延伸设问 sin ∠ACB＝ ⁠. 小贴士 　 过点A作BC的垂线，构造直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝7 ，AC＝25， sin C＝ ，求BC的长. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AC＝25， sin C＝ ， ∴AD＝AC· sin C＝7. ∴在Rt△ACD中，CD＝ ＝24. ∵AB＝7 ， ∴在Rt△ABD中，BD＝ ＝7. ∴BC＝BD＋CD＝31. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15. 如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(2 ，0)在 ☉A上，BD是☉A的一条弦，求 sin ∠OBD的值. 辅助设问 圆周角∠COD＝90°，则可连接 ⁠构造直角 三角形. CD　 解：如图，连接CD. ∵点D的坐标为(0，3)，点C的坐标 为(2 ，0)， ∴OD＝3，OC＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 ∵∠COD＝90°， ∴CD＝ ＝ . ∵∠OBD＝∠OCD， ∴ sin ∠OBD＝ sin ∠OCD＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16. 如图，在△ABC中， sin B＝ ，点F在BC上， AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且 AE∶EC＝3∶5. (1)求线段BF的长； 解：(1)如图，过点A作 AD⊥CB，垂足为点D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 解：(1)如图，过点A作 AD⊥CB，垂足为点D. ∵ sin B＝ ＝ ， ∴AD＝AB· sin B＝5× ＝ 4 ∵AB＝AF，AD⊥CB， ∵ sin B＝ ＝ ， ∴AD＝AB· sin B＝5× ＝ 4. ∴BD＝ ＝ ＝3. ∵AB＝AF，AD⊥CB， ∴DF＝BD＝3. ∴BF＝6. ∴DF＝BD＝3. ∴BF＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)求 sin C的值. 解：(2)∵EF⊥CB，AD⊥CB， ∴EF∥AD. ∴ ＝ . ∵AE∶EC＝3∶5，DF＝3， ∴CF＝5. 解：(2)∵EF⊥CB，AD⊥CB， ∴EF∥AD. ∴ ＝ . ∵AE∶EC＝3∶5，DF＝3， ∴CF＝5. 16. 如图，在△ABC中， sin B＝ ，点F在BC上， AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且 AE∶EC＝3∶5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 ∴CD＝8.在Rt△ACD中，AC＝ ＝ 4 ， ∴ sin C＝ ＝ ＝ . ∴CD＝8.在Rt△ACD中，AC＝ ＝ 4 ， ∴ sin C＝ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 方法归纳 求三角函数值构造直角三角形的方法：①非直角三 角形中作高构造，如T14；②圆中通过连直径构 造，如T15；③网格中通过连线或作垂线构造，如 T13. $