26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦反比例函数图象和性质的综合运用，通过复习回顾反比例函数的图象（双曲线）及k值与象限、增减性的关系导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，为综合运用奠定基础。 资料亮点在于以k的几何意义探究为核心，通过坐标计算矩形面积归纳S=|k|，培养几何直观与推理意识，结合一次函数综合题分类讨论k值，强化数形结合思想。含知识思维导图辅助总结，提升学生综合解题能力，为教师提供结构化教学流程与多样化练习，高效落实核心素养。

九年级下册教案 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 教学内容 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 课时 1 核心素养目标 1. 通过合作探究，使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质，发展几何直观. 2. 领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法，强化数形结合思想. 3. 培养学生用数学语言讨论问题，阐述数据信息与分析思路，通过数据信息追寻其中的意义. 知识目标 1. 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质； 2. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法； 3. 探索反比例函数和一次函数，几何图形以及图形面积的综合应用. 教学重点 1. 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质； 2. 领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 教学难点 理解和掌握反比例函数及其图象与性质. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、复习回顾 导入新知 复习引入 问题1反比例函数的图象是什么？ 问题2：反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 师生活动：学生独立思考，共同回答. 预设1：双曲线. 预设2：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 二、探究新知 知识点一：用待定系数法求反比例函数的解析式 合作探究 例1：已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ (2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这个函数的图象上？ 师生活动：学生回顾函数图象的性质，共同回答问题(1)；教师引导学生思考待定系数法的解题步骤，学生独立完成计算. 解：(1) 因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.所以该反比例函数的解析式为 . 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 练习 1.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； (2) 判断点 B (－1，6)，C (3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板书，教师巡视. 知识点二：反比例函数图象和性质的综合 例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 师生活动：学生独立思考，选一名学生回答问题(1)，其他同学判断正误；在教师的引导下共同回答问题(2). 练习 2.如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( ) A．－1 B．3 C． 1 D．0 师生活动：选一名学生回答问题并说明解题思路，其他同学判断补充. 知识点三：反比例函数解析式中 k 的几何意义 合作探究 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 师生活动：学生独立思考，共同作答完成填空. 猜想 由前面的探究过程，可以提出什么样的猜想？ 师生活动：学生独立思考、积极发言，共同作答，教师顺势总结： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBP = |k|. 追问：你能证明这个猜想吗？请就 k < 0 的情况给出证明. 师生活动：学生独立思考完成证明，选一名学生板书，教师巡视. 证明：设点 P 的坐标为 (a，b). ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab = k. 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = －a·b = －ab = －k； 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a· (－b) = －ab = －k. 综上，S矩形 AOBP = |k|. 归纳 对于反比例函数 ， 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = |k|. 推论：△QAO 和 △QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 做一做 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他同学判断正误. 例3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他同学判断正误. 练习3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . 师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视；选一名学生回答并说明解题思路. 知识点四：反比例函数与一次函数的综合 合作探究 3.在同一坐标系中，函数 　和 y = k2 x + b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？ 师生活动：学生独立思考后跟随教师的引导，分析不同图象下k1、k2、b各应满足的条件. 例4 函数 y = kx－k 与 ( k≠0) 的图象大致 是 ( ) 师生活动：教师引导学生分析解题思路——由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案，师生共同解决问题. 练习 4.在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) 师生活动：学生独立思考，共同作答. 三、当堂练习 1. 如图，P是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB⊥x 轴于点 B，连接 OP，且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式是_______． 3. 如图，直线 y = k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________． 4. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； (2) 求△AOB 的面积. 设计意图：通过复习回顾，巩固学生对反比例函数的图像和性质的掌握，为后面学习它的综合运用做准备. 设计意图：通过前面的学习，学生已经掌握待定系数法求解析式，这里则是锻炼学生的运算能力和应用能力，发展迁移思想. 设计意图：通过练习巩固用待定系数法求反比例函数解析式的解题步骤. 设计意图：通过回顾，培养学生综合应用反比例函数的图象和性质解决问题的能力，锻炼综合运用能力. 设计意图：通过练习巩固反比例函数图象和性质的综合应用，培养有逻辑有条理的解题思路. 设计意图：锻炼解题能力，培养自主学习习惯. 设计意图：培养学生的观察能力和归纳总结能力，发展推理能力. 设计意图：锻炼学生的证明能力，培养讲道理、有条理的数学思维. 设计意图：考查学生对反比例函数解析式中 k 的几何意义的掌握. 设计意图：巩固对反比例函数解析式中 k 的几何意义的理解，锻炼运用能力. 设计意图：锻炼运用反比例函数解析式中 k 的几何意义解题的能力，渗透数形结合思想. 设计意图：强化数形结合思想，培养学生用数学语言讨论问题，阐述数据信息与分析思路. 设计意图：锻炼学生综合应用反比例函数与一次函数的函数图像及性质解决问题的能力. 设计意图：进一步掌握综合应用反比例函数与一次函数的函数图像及性质解决问题的解题方法. 设计意图：考查学生对综合运用反比例函数的图象和性质解题的能力. 设计意图：考查对用待定系数法求反比例函数解析式的掌握. 设计意图：考查对反比例函数和一次函数的综合应用. 设计意图：考查学生用反比例函数在几何图形以及图形面积中的综合应用. 板书设计 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用 无 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力. 学科网（北京）股份有限公司 $