精品解析：湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解函数的定义域与值域得集合，再求交集即可. 【详解】由题知集合分别表示函数的定义域与值域， 所以，， 所以 2. 已知复数，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由复数，可得，则 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助对数性质计算即可得. 【详解】，，故. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 5. 在平行四边形中，是上靠近点D的三等分点，F，G分别是，的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】在平行四边形中，，，因此. 已知是上靠近的三等分点，因此； 是中点，是中点，则. . ，其中方向与相反，长度为的一半， 则， 所以. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 7. 湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点，结合余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点： 根据速度和路程关系，可得：球员从出发走的路程， 足球从向运动后剩余的路程. 在中，已知，， 由余弦定理：， 可得 则，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 8. 若直线与函数的图象从左至右交于点A，B，直线与的图象从左至右交于点M，N，则当t变化时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、结合对数函数的性质，平面向量数量积的坐标表示公式、对数的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】当时，，所以A，B分别与M，N重合，因此， 所以式子没有意义，因此不符合题意， ， 当时，函数图象如下图所示： 当时，函数图象如下图所示： 因此， 由直线与函数的图象从左至右交于点A，B， 设，显然有， 于是有， 即，且， 因为直线与的图象从左至右交于点M，N， 所以设，显然有， 于是有， 即，且， 因为， 所以， 因为， 所以，即， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C. 函数在区间上存在零点 D. 若，，，则的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由函数的定义域为， 令，得，则函数的定义域为，故A正确； 对于B，由对一切实数x恒成立， 则，解得， 所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，故B错误； 对于C，因为函数在上连续，且， 则，根据零点存在性定理， 函数在区间上存在零点，故C正确； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故D正确. 10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】借助图象结合余弦型函数性质可得该函数解析式，即可得A；借助零点定义计算可得B；借助余弦函数对称轴代入检验可得C；利用余弦型函数零点计算可得D. 【详解】由图可得，解得， 且有，则，即， 则，解得， 又，则，故； 对A：由上知，，故A正确； 对B：令，则， 则或， 即或， 则或，故B错误； 对C：当时，， 由不是函数的对称轴， 故不是函数的对称轴，故C错误； 对D：当时，， 令， 由B得，或， 由函数在区间上至少有10个零点， 则，解得， 故实数t的最小值为，故D正确. 11. 已知点O为所在平面内一点，满足（其中），则（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 当，时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则，满足 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，设的中点为，当时，， 即三点共线，直线过边的中点，A正确； 对于B，如图，延长至点，使，延长至点，使， 连接，设线段的中点为，连接并延长至点，使， 连接，则四边形是平行四边形， 所以，又时，， 所以，即三点共线，且， 根据同底等高三角形面积相等，则， 即与的面积之比为，B错误； 对于C，由于，且时，， 故点为的外心和重心，故为等边三角形，则， 由可得， 故，C正确； 对于D，因为，且， 由，得， 所以，即，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法公式、对数的运算性质、指数幂的运算化简求值即可． 【详解】解： ． 13. 已知两个非零向量和，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，则， 而向量和均为非零向量，因此， 所以. 14. 在中，，，则实数的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】将 两边平方,结合余弦定理可得,由 结合正弦定理可得,两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】在中，，可得. 两边平方得：，又. 所以，即. 所以，所以. 由，根据正弦定理可得，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故实数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 即，则， 所以，则， 又，则. 【小问2详解】 由，得， 则， 即，解得. 16. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点． （1）设和交于点G，求的值； （2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，利用向量共线的坐标表示求解. （2）由（1）中坐标系，利用数量积的坐标表示列式求出范围. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，，，连接， 则，四边形为平行四边形，，， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，令，则， ，由在上，得， 因此，解得，即，则， 所以的值为2. 【小问2详解】 由（1）得，由点F在边上，设， 则，，而， 因此， 所以的取值范围为. 17. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，平分交于点，求的长； （3）在第（2）问的条件下，若点为边的中点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换整理得，进而求得答案； （2）结合已知，根据余弦定理求得，再结合求解即可. （3）根据，结合向量的模的求解得，再将（2）的结果代入求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 又， 所以，即， 因为，所以，即， 因为，所以 【小问2详解】 解：因为，， 所以，由余弦定理得，即 因为， 所以，解得， 因为平分交于点， 所以，即 所以，即. 【小问3详解】 解：因为点为边的中点，所以， 所以 ， 由（2）知，，， 所以， 所以，即 18. 已知函数，定义域为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角公式将化简，应用公式即可求出周期； （2）将方程两个实数解问题转化成函数有两个交点问题，利用换元将函数转化成正弦函数求解； （3）由对任意的，总存在，使得成立，本质上是两个函数在给定区间上的值域包含问题，利用换元法求值域即可. 【小问1详解】 由 ， 从而函数的最小正周期. 【小问2详解】 由，即，则， 令，，则， 则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图 ，解得，即实数a的取值范围； 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度 得 函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 得 当，则，可得， 从而； 当，则，可得， 从而， 当，， 当，， 由对任意的，总存在，使得成立， 则或 解得或， 实数m的取值范围为． 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． （1）若复向量，求； （2）若复向量，且与平行，求z； （3）若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值且该定值为. 【解析】 【分析】（1）直接套用题目定义的复向量内积公式，先求出两个分量的共轭复数，再代入的分量展开计算，利用化简得到结果； （2）根据题目定义的平行条件，将设为的复数倍数，通过分量对应相等求出复数系数，再代入计算得到的值； （3）先利用复向量模的定义，结合求出与，再计算内积并求出其模长，进而由夹角公式得到，再求出，最后代入面积公式验证结果为定值. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 整理得，所以，， 所以； 【小问3详解】 设与的夹角为，则 ， 由题意知， ，， 所以，所以， 因为，所以， 即是定值，且该定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，是上靠近点D的三等分点，F，G分别是，的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 7. 湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 8. 若直线与函数的图象从左至右交于点A，B，直线与的图象从左至右交于点M，N，则当t变化时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C. 函数在区间上存在零点 D. 若，，，则的最小值为4 10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为 11. 已知点O为所在平面内一点，满足（其中），则（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 当，时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则，满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：____________． 13. 已知两个非零向量和，若，则实数______． 14. 在中，，，则实数的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数k的值． 16. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点． （1）设和交于点G，求的值； （2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围． 17. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，平分交于点，求的长； （3）在第（2）问的条件下，若点为边的中点，求的值． 18. 已知函数，定义域为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． （1）若复向量，求； （2）若复向量，且与平行，求z； （3）若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $