精品解析：云南富宁上海新纪元实验学校2025-2026学年高一第一次月考数学试题

2025-2026春期新纪元云贵发展中心第一次月考 数学（高一） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下说法正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的基本概念逐一判断即可. 【详解】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误， 零向量是没有方向的向量，B错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确； 若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误； 故选：C. 2. 若是内一点，，则是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答. 【详解】取线段的中点，连接，则，而， 因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点， 所以是的重心. 故选：D 3. 中，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义计算即可. 【详解】依题意得，由于，则的夹角是， 则. 故选：B 4. 在中，为上靠近点的三等分点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则和减法法则表示即可. 【详解】. 故选：A. 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解. 【详解】由题意以及题图可知，所以. 故选：B. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因， 则当，即时，三角形有两解， 所以的取值范围是. 8. 已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 与可以作为基底 C. D. 与方向相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得. 【详解】由题意，向量，可得， 所以，所以A正确，B错误； 又由，所以C正确； 因为，所以，所以与方向相反，所以D错误. 故选：BD. 10. 如图，在平行四边形中，，，，延长DP交BC于点M，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算以及数量积公式即可求解. 【详解】依题意， 因为在平行四边形中，，， 所以，即M为BC的中点， 所以，故A正确； 因为不共线，所以错误，故B错误； ，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，在中，，D为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 与的面积相等 C. D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，由两个三角形等底等高可知其相等；对于选项C，在中分别运用正弦定理可验证其正确； 对于选项D，首先根据余弦定理和基本不等式的性质可求得的最大值，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得. 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：为中点，和等底等高，所以，B正确； 对于选项C：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以，C正确； 对于选项D：根据余弦定理得. 可得, 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3. 因为， 所以. 因为，所以. 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式可求在上的投影向量的模. 【详解】在上的投影向量的模为， 故答案为：. 13. 设D为内一点，且，则与的面积比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由已知求得，接着以为邻边作平行四边形，连接交于点，于是有，从而推出，再结合和三角形同高即可得解. 【详解】由题得， 所以， 所以即， 如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即，又和高相等， 所以. 故答案为：. 14. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径. 【详解】由已知，所以. 在中，，故. 在中，由正弦定理得， 而，， 故， 在中，利用余弦定理 ，即， 在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为. 故答案为：. 四、解答题：解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先用平面向量运算法则求出，从而求出模长；（2）根据平面向量垂直得到方程，求出的值. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 由题意得：，解得：. 16. 已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， （1）用，表示向量，； （2）若，求实数的值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）利用与共线，可得存在实数m，使得，进而计算可得，进而计算可求实数的值． 【小问1详解】 为中点， ，． ． 【小问2详解】 ， ． 与共线， ∴存在实数m，使得， 即， 即． ，不共线，， 解得． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求边长c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换可得，从而可得角C的大小； （2）由三角形的面积及可得的值，再根据余弦定理可得边长c． 【小问1详解】 由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，∴，则． 【小问2详解】 ∵的面积为，则 ∴根据题意得，则或， ∵，∴ 由余弦定理可得， 即． 18. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为. (1)求的值; (2)求的最小值. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 （1）建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由，，三点共线，即，列方程即可求出的值； （2）由(1)得，由面积可得，利用基本不等式可得最小值. 【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设，， 则，， 由得， 故， 由得， 所以， 因为，，三点共线，所以， 所以， 解得. (2)由(1)得， 因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当，时取得等号. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题. 19. 已知向量，，其中，函数，且图象的两个相邻对称中心的距离为． （1）求； （2）已知分别为不等边的三个内角的对边，且，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换公式可得，再根据周期公式可得； （2）根据已知条件求出，再根据正弦定理求出，最后根据三角形面积公式可求出结果. 【小问1详解】 , 依题意得，即. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得， 因为为不等边三角形，且，， 所以，， 所以，，或，， 当，时，， 由正弦定理得，得， 所以， 当，时，， 由正弦定理得，得， 所以. 【点睛】易错点点睛：由，以及为不等边三角形，求出时，容易漏掉一解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026春期新纪元云贵发展中心第一次月考 数学（高一） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下说法正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 2. 若是内一点，，则是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 3. 中，，，，（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为上靠近点的三等分点，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 与可以作为基底 C. D. 与方向相同 10. 如图，在平行四边形中，，，，延长DP交BC于点M，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，D为边上的中点，，，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 与的面积相等 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的模为______． 13. 设D为内一点，且，则与的面积比为__________. 14. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______. 四、解答题：解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求的值． 16. 已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， （1）用，表示向量，； （2）若，求实数的值． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求边长c． 18. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为. (1)求的值; (2)求的最小值. 19. 已知向量，，其中，函数，且图象的两个相邻对称中心的距离为． （1）求； （2）已知分别为不等边的三个内角的对边，且，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $