精品解析：云南省文山州富宁上海新纪元实验学校2024-2025学年高一下学期3月云贵统一考试数学试题

上海新纪元2025年3月云贵统一考试试题 数学（高一） 本试题共4页，19小题，满分150分.考试时间：120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 3. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 6. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确是（ ） A. 速度和力是矢量，物体的质量是标量 B. 若，，是的三个顶点，则 C. 零向量的相反向量是零向量 D. 若非零向量满足，，则 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 若，则 D. 存在，使得 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，面积为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 14. 在中，，，则面积最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 向量． （1）若，求k的值． （2）若，求． 16. 如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． （1）用，方表示； （2）若，求的值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 18. 已知锐角三角形中，角，，所对边分别为，，，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海新纪元2025年3月云贵统一考试试题 数学（高一） 本试题共4页，19小题，满分150分.考试时间：120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模长坐标运算直接求解即可. 【详解】，. 故选：A. 2. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】． 故选：C. 3. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个垂直向量的数量积为0，以及向量数量积的坐标运算公式，即可得解. 【详解】解法一：因为，所以， ，，， 故，解得； 解法二：因为，， 由得，解得. 故选：B. 5. 在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底表示，代入向量的数量积公式计算即可. 详解】 如图，∵，，， ∴， ∴ 故选：B． 6. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】在三角形内，先利用“大角对大边”由得到，进而利用正弦定理即可进行证明. 【详解】在三角形中，成立等价于， 由正弦定理：， 充分性：若成立，大角对大边，则成立，由上面正弦定理形式得出，满足充分性； 必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大边对大角，则成立，满足必要性； 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 7. 已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，又，所以， 根据二次函数性质，所以当时，， 故选：B. 8. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得. 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 速度和力是矢量，物体的质量是标量 B. 若，，是的三个顶点，则 C. 零向量的相反向量是零向量 D. 若非零向量满足，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据矢量和质量的定义得到A正确；B选项，利用向量加法法则得到B错误；C选项，根据零向量和相反向量的概念得到C正确；D选项，根据平行向量的概念得到D正确. 【详解】对于A，在物理中，速度和力是矢量，物体的质量是标量，A正确； 对于B，，是零向量，不是0，B错误； 对于C，零向量的相反向量是零向量，C正确； 对于D，对于非零向量，，表示与的方向相同或相反， 与的方向相同或相反，所以与的方向相同或相反，D正确． 故选：ACD 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量模长坐标计算公式可得答案； 对于B，由向量夹角计算公式可得答案； 对于C，由向量垂直坐标表示可得答案； 对于D，由向量垂直定义可得答案. 【详解】对于A，由题可知，故A项正确； 对于B，，故与的夹角为，故B项错误； 对于C，若，则，故C项正确； 对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确. 故选：ACD 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，可得，求解即可 【详解】设点为坐标原点， 点在线段的延长线上，且，， 即，． 点的坐标为． 故答案为： 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值. 【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由，由. 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则. 设，则，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 向量． （1）若，求k的值． （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得出参数，再根据模的坐标运算即得. 【小问1详解】 因为所以，则． 【小问2详解】 因为，，所以，． ，． 16. 如图，在平行四边形中，与相交于点．是线段的中点，的延长线与交于点． （1）用，方表示； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解； （2）由三角形相似得，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解. 【小问1详解】 由题意得，， 所以； 小问2详解】 如图，因为， 所以， 所以与相似， 所以, 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理进行边化角，再结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式可求解出的值； （2）先通过余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，然后根据面积公式可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 18. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【小问1详解】 由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$