专题04 实数8大考点（期中真题汇编，广东专用）七年级数学下学期新教材人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04实数 ☆8大高频考点概览 考点01无理数 考点02无理数的大小估算 考点03无理数整数部分与小数焙部分有关计算 考点04实数的概念和性质 考点05实数与数轴 考点06实数的大小比较 考点07实数的混合运算 考点08新定义实数运算 目目 考点01 无理数 (24-25七年级下·广东江门期中)下列各数中，是无理数的是() A.√4 B. 22 C.0.121212 D.5 2.(24-25七年级下·广东东莞期中)下列各数中，无理数是() A.0.3 B.4 C.7 D.-V阿 3.(24-25七年级下广东肇庆期中)下列命题是真命题的是() A.1.010010001…(每次多一个0)是有理数 B.相等的角是对顶角 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.内错角相等 4.(24-25七年级下·广东肇庆期中)下列选项是无理数的为() A号 B. C.3.1415926 D.4 2425七年级下广东中山期中)下列实数：V7,2号，，0,32,27,0.303030003（每两 之间的0的个数依次增加1个)中，无理数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.2425七年级下广东中山期中)在实数5，号，4,01,10x,中，不是无理数的个数是《) A.4 B.3 C.2 D.1 7.(24-25七年级下·广东广州期中)下列命题中是真命题的是() A.相等的角是对顶角 B.√是无理数 1/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.平方根等于本身的数有1和0 D.同一平面内，若b⊥a,b⊥c,则a⊥c 8.(24-25七年级下·广东湛江·期中)下列实数中，是无理数的是() A.√2 B吉 C.-3 D.3.14 9.(24-25七年级下·广东广州期中)下列命题中，真命题的个数有() ①过一点有且只有一条直线与己知直线平行；②过一点有且只有一条直线与己知直线垂直；③士4是64的立 方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.(24-25七年级下·广东广州期中)下列四个实数中，是无理数的是() A.π B.0 C.0.7 D.月 11.(24-25七年级下，广东汕头·期中)下列实数中，是无理数的是() A.方 B.1-31 C.5 D.0 12.(2425七年级下广东广州期中)实数V2,2.3,2,T0,√④，64，其中无理数的个数是（）个 52 A.2 B.3 C.4 D.5 13.(24-25七年级下·广东江门期中)在下列实数中，无理数的是（) A.3.14 B月 C.2 D.8 14.(2425七年级下广东湛江期中)在实数一5,2，)25,314,0，这七个实数巾，有理数 的个数是() A.6 B.5 C.4 D.3 15.(24-25七年级下广东广州期中)下列各数中，是无理数的是() A.16 p. C.27 D.3.14 16.2425七年级下广东湛江期)在号，4，，3.1415926中，无电数的个数是《) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.(24-25七年级下·广东惠州期中)在实数-2,0，√5,6中，无理数是() A.-2 B.O C.5 D.6 18.(24-25七年级下·广东广州期中)下列实数中，是无理数的是() A.0 B.-9 C.π-3.14 D. 2/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 19.(2425七年级下广东江门期中)在下列实数：0，V2.5,-3.1415,4, ，034334334…（每 22 两个4之间依次多一个3)中，无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.(24-25七年级下·广东阳江期中)下列各数中，是无理数的是( A.0 B. C.1.33 D.5 21.(24-25七年级下广东江门期中)下列实数中，是无理数的是() A. B.1.333 C.0 D.-1 22.(24-25七年级下广东湛江期中)已知点5，m-√5)在x轴上，则m的值为 23.(24-25七年级下·广东广州期中)有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图； 当输出y值为√2时，输入的x值是 是无理数，输出y 是 输入x 取算术平方根 是有理数 取立方根 理 数 是有理数 24.(24-25七年级下广东汕头期中)在实数2，√5，π，-√25中，有理数的和为 25. 2425七年级下)东中山期巾)下列数中：3，号.-万，060%，-7,0,85，所有无理 数的和是 目目 考点02 无理数的大小估算 1. (24-25七年级下·广东东莞·期中)小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依 次按键，所得的结果在数轴上对应的点可能是() -□5= 。→ D C A.点A B.点B C.点C D.点D 2. (24-25七年级下·广东惠州期中)估计√1的值（) A.在4和5之间B.在5和6之间C.在2和3之间 D.在3和4之间 3.(24-25七年级下·广东广州·期中)小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上（如图)，请你判断墨迹盖住的 数可能是() 3/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5-43-2101234今 A.9 B.5 C.√13 D.10 4.(24-25七年级下·广东江门期中)在-√3和√5之间的整数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25七年级下·广东广州期中)小信家有一块面积为88m的正方形菜地，估计这块菜地的边长在() A.7m至8m之间B.8m至9m之间C.9m至10m之间D.10m至11m之间 6.(24-25七年级下·广东广州期中)如图，在平面直角坐标系中，0P=√3，以点0为圆心，以OP的长 为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() A.-5和-4之间B.-4和-3之间 C.-3和-2之间 D.3和4之间 7.(24-25七年级下·广东东莞期中)大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正 方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是() D B A.1 B.2 C.3 D.3 8.(24-25七年级下·广东惠州期中)已知a<√24<b,且a,b为两个连续的整数，则a+2b=() A.12 B.13 C.14 D.15 9.(24-25七年级下·广东阳江·期中)如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方 形，则大正方形的边长最接近的整数是() A.4 B.5 C.6 D.7 4/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25七年级下·广东汕尾·月考)估计V30的值在(）· A.6与7之间B.5与6之间 C.4与5之间 D.3与4之间 11.(24-25七年级下·广东阳江期中)若2<√ā<3，写出一个满足条件的a的值 12.(24-25七年级下广东广州期中)√27的小数部分为 13.（24-25七年级下·广东广州期中)己知x<√10，x是整数，则符合条件的x的个数是个. 14.(24-25七年级下·广东广州期中)小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个 长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2.小明将贺卡不折叠就放入此信封.（填 能或不能) 15.(24-25七年级下·广东广州期中)已知点A,B是数轴上两点，AB=2,点B在点A右侧，点A表示 的数为a,点B表示的数为⑧的算术平方根. (1)求a的值： ②化简1+d: (3)C,D是数轴上两点，所表示的数分别为c和d,CD=2AB,且满足3c+9与√d+b-7互为相反数，其 中b为实数，求3c+4b+d的平方根. 16.(24-25七年级下广东阳江期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点 A表示的数为√2，设点B表示的数为m. A B -2-10 1 (1)实数m的值是多少？ (2)求m+1+m-1的值. 17.(24-25七年级下·广东东莞期中)如图，在平面直角坐标系，点B,F的坐标分别为0,0)和3,2). 5/16 学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 G ()写出点A的坐标 ；点D的坐标 (2)正方形CDEF的面积为 (3)以正方形ABFG顶点B为圆心，以BF的长为半径画弧，交y轴正半轴于点Q,设Q(0,m),则m的值 为 ，且<m< ·(填相邻正整数) 18.(24-25七年级下·广东广州期中)己知正数m的两个平方根分别为2a-10和a+1. (1)求a的值： 2)求Va-m-m-√4的值. 19.(24-25七年级下·广东广州期中)新定义：若无理数√厅的被开方数(T为正整数)满足 n2<T<(n+1)2(其中n为正整数)，则称无理数√厅的“青一区间”为n,n+1；同理规定无理数√厅的“青 一区间”为-n-1,-),例如：因为12<2<22，所以√2的“青一区间”为1,2)，一√2的“青一区间”为 (-2,-,请回答下列问题： (1)7的青一区间”为；-√23的“青一区间”为： (2)实数x,y,满足关系式：Vx-3+2023+(y-4)=2023,求V的青一区间”. (3)多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分. 在(2)的条件下描述√，正确的答案是() A.√xy是有理数 B.3<Vy<3.5 c.（V=12 D.3<V<3.4 (4)若无理数√a(a为正整数)的“青一区间”为2,3)，√a+3的青一区间”为3,4，求a+1的值. 目目 考点03 无理数整数部分与小数部分有关计算 1.(24-25七年级下·广东中山期中)下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务， 6/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，√2的小数部分我们不能全部写出来，就用√2-1来 表示√2的小数部分.原因是√2的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分， 又如： 4<7<9√4<万<. 2<√万<3. √万的整数部分为2，小数部分为万-2. 任务： (1)根据小茗笔记内容可知，√41的整数部分是 ，小数部分是 (2)已知：10+√3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x-y+√3的平方根. 2.(24-25七年级下·广东广州期中)阅读材料：大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因 此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2-1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示 方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是1，用√2减去其整数部分，差就是 小数部分.根据以上材料，解答下列问题： (①)如果√3=a+b,其中a是整数，且0<b<1,那么a=,b=; (2)已知A=5x+6y,B=3x+8y,且x为√19-3的整数部分，y为V19-3的小数部分，比较A与B的大小. 3.(24-25七年级下·广东江门期中)阅读下面的文字，解答问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无 限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2-1来表示√2的小数部分， 因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：：√4<√万<√9，即 2<√7<3，∴√7的整数部分为2，小数部分为√万-2. 请回答： (1)√33的整数部分是 ,小数部分是 (2)如果√6的小数部分为a,√5的整数部分为b,求a+b-√的值； (3)已知10+√5=2x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x,y的值. 4.(24-25七年级下·广东肇庆期中)阅读下面的文字，解答问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无 7/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 限不循环小数，因此、√的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数 部分，因为√2的整数部分是1，于是用√2-1来表示√2的小数部分，又例如：：√4<√万<√9，即 2<V7<3, .√万的整数部分是2，小数部分为√万-2. 根据上述材料，回答下列问题： ()求19的整数部分和小数部分： (2)m,n是两个相邻整数，且m<7+√13<n,求11m+n的算术平方根； 5.(24-25七年级下·广东珠海期中)阅读下面的文字，解答问题： √2是无理数，无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分不可能全部地写出来.因为√2的整数部分是 1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用√2-1来表示√2的小数部分，又例如： 4<7<9,即2<√万<3，√万的整数部分为2，小数部分为√万-2. (1)如果√3的整数部分为a,√10的小数部分为b,则a=，b= (2)已知6+√13的小数部分为a,6-√3的小数部分为b,求a+b的值： (3)若8+V19=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求x-y 6.(24-25七年级下·广东中山期中)己知5a+2的立方根是3，-7+b的算术平方根是4，c是√1的整数 部分. (1)求a,b,c的值； (2)求-3a+b+c的平方根 7.(24-25七年级下广东广州期中)已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-9的立方根是2. (1)求a和b的值； (2)若c<√5<c+1,c是整数，求a+2b-c+2的平方根. 8.(24-25七年级下·广东江门期中)己知4a+1的平方根是±5，-1-3b的立方根是2，c是√7的整数部分， 求3a-2b+6c的平方根. 9.(24-25七年级下·广东东莞期中)己知2a-1的平方根是±3,25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根. (1)填空：a= b= ，m= 8/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)求2a+3b的平方根. 若m的整数部分是工，小数部分是，求少的值利片的值 2 10.(24-25七年级下·广东广州期中)己知2a-5的平方根是3，b+2的立方根是2，c是V15的整数部分， 求a+b+c的平方根， 11.(24-25七年级下·广东潮州期中)同学们知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的 小数部分我们不可能全部写出来因为1<√2<2，所以√2的整数部分是1，于是可用√2-1来表示√2的小 数部分，请解答下列问题： (1)√⑧的整数部分是 ，小数部分是 (2)如果√5的小数部分为a,√13的整数部分为b,求a+b-√5的值 目目 考点04 实数的概念和性质 1. (24-25七年级下·广东广州期中)下列说法中正确的是() A.9的平方根是3 B.正实数和负实数统称实数 C.3-27=-3 D.√4=2 2.(24-25七年级下·广东广州期中)√5的相反数是() A.-5 B.-5 c店 D.5 1 3.(24-25七年级下·广东中山期中)无理数-√2025的绝对值是() 1 1 A.√2025 B.-√2025 C.- 2025 D √2025 4.(24-25七年级下广东江门期中)下列实数：0，-√2，-2,3，其中最小的是() A.0 B.√2 C.-2 D.3 5.(24-25七年级下·广东中山期中)下列各式计算正确的是() A.√12i=±11B.√5+√2=√5 C.-27=-3 D.-25=-5 目目 考点05 实数与数轴 1. (24-25七年级下·广东广州期中)下列六个命题： 9/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线平行： ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离： ④平方根等于它本身的数只有0： ⑤实数和数轴上的点一一对应； ⑥无理数都是无限小数 其中真命题的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 2.(24-25七年级下·广东中山期中)下列命题：①同旁内角互补；②过直线外一点有且只有一条直线与已 知直线平行：③实数与数轴上的点一一对应：④负数有立方根，没有平方根.其中是真命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(湖南省衡阳县五校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（创新实验班）)如图，数轴 上表示1，√2的对应点分别为A,B,AB=AC,则点C所表示的数是() C A B 0 1 V2 A.√2-1 B.1-√2 C.2-V2 D.√2-2 4.(四川省攀枝花市第二初级中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题)如图，在数轴上表 示√15的点可能是() P O M N 0123456 A.点P B.点Q C.点M D.点N 5.(25-26七年级上广东茂名期中)如图，数轴上的数a,b,c,d中，小于-1的是() .524 A.a B.b C.c D.d 6.(24-25七年级下·广东广州期中)如图，将实数10-1表示在数轴上为() R -5432-101234 A.点R B.点Q C.点S D.点T 10/16耐学科网 www .zxxk.com 专题04实数 目目 考点01 无理数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D C C B C B B A A C A B 22. 3 23.2或64 24.-3 25.7√7 目目 考点02 无理数的大小估算 2 3 4 5 6 7 D D A D B C 11.5(答案不唯一) 12.V27-5 13.7 14.不能 15 【详解】(1)解；：⑧=2,2的算术平方根为√2， 点B表示的数为√2， :AB=2,点B在点A右侧， 点A表示的数为√2-2，即a=√2-2； （2)解：1.96<2<225， 1.4<V2<1.5, -0.6<V2-2<-0.5, a+2<0-l+a<0, =-a-t(-1+a -a-2 1 1+a 1/19 让教与学更高效 15 16 17 18 19 20 21 A A C B D A 8 9 10 C C B 命学科网 www.zxxk.com (3)解：：3c+9与√d+b-7互为相反数， |3c+9+Vd+b-7=0, :|3c+9≥0Vd+b-7≥0， .|3c+g=√d+b-7=0, 3c+9=0,d+b-7=0, c=-3, .CD=2AB=4, .d=-3-4=-7或d=-3+4=1, 当d=1时，则1+b-7=0,解得b=6, ∴.3c+4b+d=-3×3+4×6+1=16, .3c+4b+d的平方根为±4； 当d=-7时，则-7+b-7=0,解得b=14, 3c+4b+d=-3×3+4x14-7=40, .3c+4b+d的平方根为±√40； 综上所述，3c+4b+d的平方根为±4或±√40 16. 【详解】(1)解：一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长 点B表示的数为m, 实数m的值是2-√2： (2)解：由(1)可得m=2-√2， :1<2<4, 1<V2<2, ·m+1=2-√2+1=3-√2>0，m-1=2-√2-1=1-√2<0， .m+1+m-1=m+1+1-m=2. 17. 【详解】(1)解：，点B,F的坐标分别为(0,0)和(3,2)， 2/19 让教与学更高效 度到达点B,点A表示的数为一√2，设 丽学科网 www.zxxk.com .由网格可知：点A的坐标为(-2,3)，点D的坐标为(6,1)， 故答案为：(-2,3)，(6,1) (2)解：由网格可知：正方形CDEF的面积为3×3-4×。×1×2=5. 故答案为：5 (3)解：：正方形ABFG的面积为5×5-4×二×2×3=13， .正方形ABFG的边长为BF=V3, ,以正方形ABFG顶点B为圆心，以BF的长为半径画弧，交y轴正半轴于 ∴.(0，V13), ∴.m=13, ,9<13<16, ∴.3<13<4， 故答案为：V13,3,4 18. 【详解】(1)解：：正数m的两个平方根分别为2a-10和a+1, .2a-10+a+1=0. 解得：a=3, a的值为3. (2)解：由(1)知：a=3. .2a-10=-4,a+1=4, m=(±4)2=16， √ā=5，m=6, :1<3<4,8<16<27 1<3<2,2<16<3, 5<16, :a-m-m-4 3/19 让教与学更高效 点0， 函学科网 =5-6-6-2, =16-√5-16+2， =2-5. :Na-m-m-4的值为2-5. 19 【详解】(1)解：42<17<52， .7的青一区间”为4,5)； :42<23<52, -√23的“青一区间”为(-5，-4)： 故答案为：（4,5)，（-5，-4)； (2)解：：x-3+2023+(y-4=2023, .Vx-3+2023+(y-4)2=2023, 即Vx-3+(y-4)2=0, .x=3,y=4, xy=12, :32<12<42, √xy的“青一区间”为3,4)； (3)解：√y=V12, :√2=25，是无理数，选项A说法错误； :9<12<12.25, 3<√<3.5，选项B说法正确； :Vy=12, “（√)=12，选项C说法正确， 12>3.42=11.56, www.zxxk.com 4/19 让教与学更高效 耐学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 √xy>3.4,选项D说法错误： 故选：BC: (4)解：：无理数√a(a为正整数)的“青一区间”为(2,3)， 4<a<9, :√a+3的“青一区间”为3,4)， .9<a+3<16,即6<a<13, ∴.6<a<9, :a为正整数， a=7或a=8, 当a=7时，Va+1=8=2, 当a=8时，a+1=5, :a+i=2或9. 目目 考点03 无理数整数部分与小数部分有关计算 1. 【详解】(1)解：36<41<49， :V36<√41<√49，即6<√41<7， :√41的整数部分是6，小数部分是√41-6， 故答案为：6，√41-6； (2)解：：9<13<16， .9<√13<√16，即3<√13<4， .10+3<10+V13<10+4,即13<10+√3<14 :10+V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1, .x=13,y=10+V13-13=3-3, x-y+V13=13-13-3+13=16, x-y+√3的平方根是±6=4. 5/19 耐学科网 www .zxxk.com 2. 【详解】(1)解：√<√3<16， 3<13<4, :√3=a+b,a是整数，且0<b<1, a=3,b=V13-3, 故答案为：3，√13-3： (2)解：：4<V19<5, .1<V19-3<2, :x为√19-3的整数部分，y为V19-3的小数部分， x=1,y=19-4, A-B=(5x+6)-3x+8)=5x+6y-3x-8y=2x-2y=21-(9-4) .:A>B. 3. 【详解】(1)解：：√25<√33<√36，即5<√33<6， .√33的整数部分是5，小数部分是33-5， 故答案为：5，√33-5； (2)解：：√49<V61<√64，即7<V61<8, :√61的小数部分为a=√61-7， :V81<√95<V100,即9<√95<10， .√95的整数部分为b=9, :a+b-6 =V61-7+9-61 =V61-7+9-61 =2; 6/19 让教与学更高效 10-2V19>0, 耐学科网 (3)解：：√4<√5<√ 2<5<3, :√5的整数部分为2，小数部分是√5-2， :10+V5=10+2+(5-2)=12+(N5-2, :10+V5=2x+y,x是整数，且0<y<1, 2x=12,y=V5-2, x=6, 【详解】(1)解：：√16<√19<√25， .4<V19<5, :√19的整数部分是4，小数部分是9-4： (2)):9<13<16, .3<13<4, .10<7+13<11, :m<7+V13<n, .m=10,n=11 11m+n=11×10+11=121, :121的算术平方根是11， .11m+n的算术平方根是11： 5 【详解】(1)解：：√9<√3<√6，即3< √13的整数部分为3，即a=3, :V9<V10<16,即3<10<4 .√10的小数部分为V10-3,即b=0-3 www.zxxk.com 3<4, 7/19 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com 故答案为：3，√10-3； (2)解：：3<√13<4， 9<6+13<10, “6+√3的小数部分为6+3-9=√3-3， 即a=V3-3; 由3<√3<4可得，-4<-3<-3， 2<6-13<3, “6-√13的小数部分为6-√13-2=4-√3， 即b=4-13; a+b=V13-3+4-V13=1. (3)解：：√16<19<√25， 即4<19<5， 12<8+V19<13, ∴.8+√19的整数部分为12，小数部分为V19-4, :8+19=12+(19-4), 又：8+V19=x+y,其中x是整数，且0<y<1, x=12,y=19-4, :x-y=12-（19-4=16-19>0, x-y川=16-19=16-19 6. 【详解】(1)解：由题意可得5a+2=27,-7+b=16, 解得a=5,b=23, :3=√9<√1<√16=4，c是√1的整数部分， 8/19 让教与学更高效 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 c=3, 即a=5,b=23,c=3; (2)解：当a=5,b=23,c=3时，-3a+b+c=-3x5+23+3=11, :11的平方根为±11， .-3a+b+c的平方根为±1. 【详解】(1)解：：2a-1的算术平方根是3,3a+b-9的立方根是2， 2a-1=32=9,3a+b-9=23=8, a=5,b=2: (2)解：：4<5<9， 2<V5<3, :c<V5<c+1,C是整数， .c=2, .a+2b-c+2=5+2×2-2+2=9, .a+2b-c+2的平方根为±V9=±3. 8 【详解】解：：4a+1的平方根是±5，-1-3b的立方根是2， .4a+1=(±5)2，-1-3b=23, a=6,b=-3: :√4<7<V9, 2<√7<3， :c是√万的整数部分， c=2, .3a-2b+6c=3×6-2×-3)+2×6=36, :(±6)2=36， :36的平方根是±6，即3a-2b+6c的平方根是±6. 9. 9/19 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：由题意，得：2a-1=32=9,25+b=33=27, .a=5,b=2, .m=√a+b=√7； (2):a=5,b=2, 2a+3b=2×5+3×2=16, .2a+3b的平方根为±4； (3):m=√7，√4<√万<5， .2<√7<3， x=2,y=√7-2， 2y,=y-;-7-2-1=万-3,5y+r54_55=5. 2 √7 10 【详解】解：：2a-5的平方根是3，b+2的立方根是2，c是√15的整数部分， .2a-5=9,b+2=8,3<V15<4, 解得：a=7,b=6,c=3, 即a+b+c=7+6+3=16,则16的平方根是±4， .a+b+c的平方根是±4. 11 【详解】(1)解：：4<8<9， 2<⑧<3， √⑧的整数部分是2，小数部分是：√8-2； (2)解：：4<5<9， 2<5<3, √5的小数部分为：a=√5-2， .9<13<16, .3<V13<4, 10/19 专题04 实数 8大高频考点概览 考点01 无理数 考点02 无理数的大小估算 考点03 无理数整数部分与小数部分有关计算 考点04 实数的概念和性质 考点05 实数与数轴 考点06 实数的大小比较 考点07 实数的混合运算 考点08 新定义实数运算 ( 地 城 考点 01 无理数 ) 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列各数中，是无理数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根；无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比．选项A、B、C均为有理数，只有D是无理数． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数； B．是分数，分子和分母都是整数，属于有理数； C．是有限小数，属于有理数； D．是无限不循环小数，不能表示为分数，属于无理数． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数． 根据无理数的概念作答即可． 【详解】、、、，无理数是， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．（每次多一个0）是有理数 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，无理数的概念，对顶角性质，平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，据此依据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、（每次多一个0）是无限不循环小数，是无理数，故原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，故此选项不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，故此选项符合题意； D、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列选项是无理数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴，，都不是无理数， 只有是无限不循环小数． 故选：B． 5．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列实数：，，，（每两个3之间的0的个数依次增加1个）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此逐个判断即可． 【详解】解：， 无理数有，（每两个3之间的0的个数依次增加1个），共3个， 故选：． 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）在实数，，，中，不是无理数的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数， 根据定义逐项判断无理数，即可得出答案. 【详解】解：是无理数，不是无理数，是有理数，一共3个. 故选：B. 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．是无理数 C．平方根等于本身的数有1和0 D．同一平面内，若，，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了真、假命题的判断，对顶角、平方根、垂线段最短，根据定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：因为相等的角不一定是对顶角，所以A不是真命题； 因为是无理数，所以B是真命题； 因为平方根等于本身的数只有0，所以C不是真命题； 同一平面内，若，，则，所以D不是真命题． 故选：B． 8．（24-25七年级下·广东湛江·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，故本选项符合题意． B、可化为无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意． C、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． D、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：A 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查命题真假的判断，根据平行公理、垂线性质、立方根、无理数定义及实数与数轴的关系，需逐一分析各命题的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不符合题意； ③4是64的立方根，故③不符合题意； ④带根号的数不一定都是无理数，故④不符合题意； ⑤实数和数轴上的点一一对应，正确，故⑤符合题意； ∴符合题意的有⑤，共个， 故选：B． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C．0.7 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一分析选项即可。 【详解】解：A.π是无限不循环小数，属于无理数。 B.0是整数，属于有理数。 C.0.7是有限小数，属于有理数。 D. 是分数，属于有理数。 故选：A． 11．（24-25七年级下·广东汕头·期中）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可． 【详解】解：，，，0中，是无理数的是； 故选C． 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）实数，其中无理数的个数是（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：在实数中，无理数有，共2个， 故选：A． 13．（24-25七年级下·广东江门·期中）在下列实数中，无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； B：是分数，可表示为整数之比，属于有理数，不符合题意； C：是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，不符合题意； D：，结果为整数，属于有理数，符合题意， 故选：C． 14．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在实数，，，，，0，这七个实数中，有理数的个数是（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，逐一判断各数是否为有理数即可． 【详解】解：，是整数，为有理数； 是无理数，仍为无理数； 是分数，为有理数； 为无理数； 是有限小数，为有理数； 0是整数，为有理数； ，是整数，为有理数； 综上，有理数有，，，0，，共5个， 故选：B． 15．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为有理数或无理数． 【详解】A．是无限不循环小数（无法表示为整数之比），因此为无理数． B． 是分数，可化为无限循环小数，属于有理数． C． ，是整数，属于有理数． D．是有限小数，属于有理数． 综上，只有选项A为无理数． 故选：A． 16．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无理数的定义逐一分析即可． 【详解】解：是分数，属于有理数． 是整数，属于有理数． 9不是完全立方数，且无法表示为两个整数之比，属于无理数． 为有限小数，属于有理数． 综上，无理数仅有，共1个． 故选A． 17．（24-25七年级下·广东惠州·期中）在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 18．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列实数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，熟知无理数的概念是解题的关键． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可． 【详解】解：A. 0是整数，故该选项不符合题意； B. 是分数，是有理数，故该选项不符合题意； C. 是无理数（约3.1415926...），减去有理数3.14后，结果仍为无限不循环小数，是无理数，故该选项符合题意； D. ，是整数，故该选项不符合题意； 故选：C． 19．（24-25七年级下·广东江门·期中）在下列实数：0，，，，，（每两个4之间依次多一个3）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数即可． 【详解】解： 0：整数，属于有理数；，是无理数，故是无理数；有限小数，可化为分数，属于有理数；，整数，属于有理数；：分数，属于有理数；（每两个4之间依次多一个3），虽有一定排列规律，但无固定循环节，属于无限不循环小数，是无理数； 综上，无理数有2个； 故选：B． 20．（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列各数中，是无理数的是（       ） A．0 B． C．1.33 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、0是整数，是有理数，故本选项不符合题意； B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C、1.33是有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 21．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数之比． 本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义及其常见表现形式是解题的关键． 【详解】1. 选项A：是无理数，任何非零有理数（如）与无理数相乘的结果仍是无理数，因此是无理数． 2. 选项B：是有限小数，可表示为分数，属于有理数，不是无理数． 3. 选项C： 0是整数，可以表示为，属于有理数，不是无理数． 4. 选项D：是整数，可以表示为，属于有理数，不是无理数． 综上，只有选项A是无理数． 故选：A． 22．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知点在轴上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中x轴上的点的坐标特点，熟练掌握x轴上的点的坐标特点是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标都为0；可得，求解即可得答案． 【详解】∵点在x轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是________． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 24．（24-25七年级下·广东汕头·期中）在实数2，中，有理数的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数识别、算术平方根、实数运算等知识，理解有理数和无理数的定义是解题关键．首先判断四个实数中的无理数和有理数，然后根据算术平方根的定义性质以及实数加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故这组实数中，为无理数，2，为有理数， 则有理数的和为． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是________． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，实数的加法运算，先化简各数，再根据无理数的定义找出所有的无理数，最后相加即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴无理数有，， ∴所有无理数的和为， 故答案为：． ( 地 城 考点 02 无理数的大小估算 ) 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依次按键，所得的结果在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，无理数的估算． 由计算器可知小明求的是的值，估算出的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：由计算器可知小明求的是的值， ∵， ∴， ∴， 即结果在数轴上对应的点可能是点D． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东惠州·期中）估计的值（   ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上（如图），请你判断墨迹盖住的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的解集、无理数的估算等知识点，掌握运用夹逼法比较无理数的大小成为解题的关键． 由数轴可知：墨迹盖住的数大于4，然后逐项估算无理数的大小并进行判断即可解答． 【详解】解：由数轴可知：墨迹盖住的数大于4， A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选A． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）在和之间的整数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，根据，得，所以在和之间的整数有，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和之间的整数有，即有4个整数 故选：D 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）小信家有一块面积为的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．至之间 B．至之间 C．至之间 D．至之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小信家有一块面积为的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在至之间． 故选：C． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，坐标与图形，先根据算术平方根定义，估算的大小，然后进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A， ∴点A的横坐标介于和之间， 故选：B． 7．（24-25七年级下·广东东莞·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，求得正方形的边长范围是解题的关键 根据算术平方根的定义，求出大小正方形的长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理和大小方法求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得，， 故，， ∴， ∵， ∴即， 中正方形的可能值为， 故选：C． 8．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知，且a，b为两个连续的整数，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，以及代数式求值，先根据，即可得出，然后再代入计算即可． 【详解】解∶∵ ∴， ∵a，b为两个连续的整数， ∴，， ∴， 故选：C 9．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的估算，根据题意可求出大正方形的面积，进而可求出大正方形的边长，再根据无理数的估算方法估算出大正方的边长的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：C． 10．（24-25七年级下·广东汕尾·月考）估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级下·广东阳江·期中）若，写出一个满足条件的a的值_____________． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意可得，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴a的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）的小数部分为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间，设的整数部分为，小数部分为，根据，即可求得和，即可． 【详解】解：设的整数部分为，小数部分为， ∵， ∴， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，x是整数，则符合条件的x的个数是______个． 【答案】7 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用“夹逼法”估算出的范围，进而得出答案，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴在和之间， ∵，， ∴， ∵是整数， ∴符合条件的的值为，共个， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明______将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能） 【答案】不能 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的运用，理解题意，掌握算术平方根的计算是关键． 运用算术平方根得到正方形的边长为，平方根的计算得到长方形的长为，根据无理数的估算得到，由此即可求解． 【详解】解：面积为的正方形的边长为， 长、宽之比为，面积为的长方形， 设长为，宽为， ∴，则， ∵， 解得，（负值舍去）， ∴长方形的长为，宽为， ∵，即， ∴， ∴， ∴贺卡不折叠就不能放入此信封， 故答案为：不能 ． 15．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知点，是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值； (2)化简； (3)，是数轴上两点，所表示的数分别为和，，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，平方根，实数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出，再由2的算术平方根为得到点B表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）可证明，据此化简绝对值求解即可； （3）根据相反数的定义可得，则由非负性的性质可得，，再根据求出d的值，进而求出b的值，最后求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解；∵，2的算术平方根为， ∴点B表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点A表示的数为，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 综上所述，的平方根为或． 16．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示的数为，设点B 表示的数为m． (1)实数m的值是多少? (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、无理数的估算、化简绝对值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点平移的性质即可得解； （2）估算出，从而可得，，最后根据绝对值的性质化简即可得解． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示的数为，设点B 表示的数为m， ∴实数m的值是； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴，， ∴． 17．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系，点B，F的坐标分别为和． (1)写出点A的坐标___________；点D的坐标___________； (2)正方形的面积为__________； (3)以正方形顶点B为圆心，以的长为半径画弧，交y轴正半轴于点Q，设，则m的值为_______，且_____________．（填相邻正整数） 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】本题考查坐标与图形，算术平方根的应用及无理数的估算，正确求出正方形的边长是解题关键． （1）根据网格，结合点B，F的坐标即可得答案； （2）利用网格，用大正方形的面积减去个小三角形的面积即可得答案； （3）根据正方形面积求出边长，即可得出的值，估算的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵点B，F的坐标分别为和， ∴由网格可知：点A的坐标为，点D的坐标为， 故答案为：， （2）解：由网格可知：正方形的面积为． 故答案为： （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵以正方形顶点B为圆心，以的长为半径画弧，交y轴正半轴于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，， 18．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知正数m的两个平方根分别为和． (1)求a的值： (2)求的值． 【答案】(1)a的值为3 (2)的值为 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根的定义，无理数的估算，根据平方根求原数，熟知平方根的定义是解题的关键． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求解即可； （2）根据平方根的概念求出m的值，进而求出的值，再估算出的范围，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正数m的两个平方根分别为和， ． 解得：， ∴a的值为3． （2）解：由（1）知：． ，， ， ， ∵ ∴， ， ∴ ， ， ． ∴的值为． 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，满足关系式：，求的“青一区间”． (3)多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分． 在（2）的条件下描述，正确的答案是（    ） A．是有理数        B．        C．        D． (4)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2)的“青一区间”为； (3)BC (4)或． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可； （3）对进行判断，可判断BC正确； （4）根据题意求得且，推出，求得或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为； （3）解：∵， ∴，是无理数，选项A说法错误； ∵， ∴，选项B说法正确； ∵， ∴，选项C说法正确； ∵， ∴，选项D说法错误； 故选：BC； （4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为， ∴， ∵的“青一区间”为， ∴，即， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或． ( 地 城 考点 03 无理数整数部分与小数部分有关计算 ) 1．（24-25七年级下·广东中山·期中）下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分， 又如： ． ． 的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________； (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分是6， 小数部分是， 故答案为∶6，； （2）解：∵， ∴，即， ∴，即 ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么_____，______； (2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小． 【答案】(1)3， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，计算即可． 【详解】（1）解：， ， ，是整数，且， ，， 故答案为：3，； （2）解：， ， 为的整数部分，为的小数部分， ，， ， ． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：∵ ∴， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， 4．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 【答案】(1)的整数部分是4，小数部分是4 (2)11 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算求解即可； （2）首先根据无理数的估算求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是4； （2））∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵121 的算术平方根是11， ∴的算术平方根是11； 5．（24-25七年级下·广东珠海·期中）阅读下面的文字，解答问题： 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 【答案】(1)3， (2)1 (3) 【分析】此题考查了实数的混合运算、无理数的估算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题意计算求解即可； （2）根据题意先求出a，b的值，代入求解即可； （3）求出，则，由，其中x是整数，得到，然后即可求出． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，即， ∵，即 ∴的小数部分为，即 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为， 即； 由可得，， ∴， ∴的小数部分为， 即； ∴． （3）解：∵， 即， ∴， ∴的整数部分为12，小数部分为， ∴， 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求和的值； (2)若，是整数，求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求解即可； （2）估算的范围确定的值，代入计算后求平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3，的立方根是2， ，， ，； （2）解：， ， ，是整数， ， ， 的平方根为． 8．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，根据立方根和平方根的定义可得，据此可求出a、b的值，再估算出，则可得到c的值，再求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，即的平方根是． 9．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知的平方根是的立方根是是的算术平方根． (1)填空： _______， _______， _______． (2)求的平方根． (3)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值和的值． 【答案】(1)5，2， (2) (3)；5 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，实数的运算，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据平方根，立方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，再求出平方根即可； （3）夹逼法求出整数部分和小数部分，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴的平方根为； （3）∵，， ∴， ∴，， ∴，． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估值等知识点．由题意分别确定的值即可求解． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，是的整数部分， ∴，，， 解得：， 即，则的平方根是， ∴的平方根是． 11．（24-25七年级下·广东潮州·期中）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________. (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值. 【答案】(1)数部分是2，小数部分是 (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题的关键． （1）根据题目中的解法可得到取值范围，进而得到结果； （2）根据题意得到小数部分以及整数部分，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是：； （2）解：， ， 的小数部分为：， ， ， 的整数部分为：， ． ( 地 城 考点 04 实数的概念和性质 ) 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．正实数和负实数统称实数 C． D． 【答案】C 【分析】根据了算术平方根，立方根，平方根的意义，以及实数的分类逐项分析即可． 【详解】解：A．9的平方根是，故不正确； B．正实数，0和负实数统称实数，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，平方根的意义，以及实数的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，直接确定的相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）无理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，无理数，实数的性质，正确理解负数的绝对值是正数是解答关键．根据绝对值的定义来求解即可． 【详解】解：无理数的绝对值是． 故选：A． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列实数：0，，，3，其中最小的是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根和实数的运算和性质，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可可判断A、C；根据被开方数要大于等于0可判断D；根据实数的运算法则可判断B． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、和不能合并计算，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、没有意义，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． ( 地 城 考点 05 实数与数轴 ) 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列六个命题： ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； ④平方根等于它本身的数只有0； ⑤实数和数轴上的点一一对应； ⑥无理数都是无限小数． 其中真命题的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相交线与平行线，点到直线距离的定义，平方根，实数与数轴以及无理数．熟练掌握相交线与平行线，点到直线距离的定义，平方根，实数与数轴以及无理数是解题的关键．根据相交线与平行线，点到直线距离的定义，平方根，实数与数轴以及无理数相关知识进行判断即可． 【详解】解：①中只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等．若两条直线不平行，被第三条直线所截时内错角不相等，所以命题①是假命题； ②中在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．如果这个点在已知直线上，是无法作出与已知直线平行的直线的，所以命题②是假命题； ③中根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以命题③是真命题； ④中，设这个数为，若的平方根等于它本身，则，当时，；当时，，所以平方根等于它本身的数只有0，命题④是真命题； ⑤中，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点一一对应，所以命题⑤是真命题； ⑥中，无理数也称为无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，所以命题⑥是真命题； 综上所述，真命题的个数是4个， 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题：①同旁内角互补；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③实数与数轴上的点一一对应；④负数有立方根，没有平方根．其中是真命题的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理、实数与数轴、同旁内角、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平行线的性质、平行公理，实数的概念、平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：①：只有当两直线平行时，同旁内角才互补．若两直线不平行，同旁内角不互补，故①为假命题； ②：根据平行公理，过直线外一点存在且唯一存在一条直线与已知直线平行，故②为真命题； ③：每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然，故③为真命题； ④：负数在实数范围内无平方根（平方非负），但有立方根（如的立方根为），故④为真命题． 综上，真命题为②、③、④，共3个， 故选：C． 3．（湖南省衡阳县五校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（创新实验班））如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，先求出的长，得到的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：∵表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 4．（四川省攀枝花市第二初级中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，在数轴上表示的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可． 【详解】解：∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， 而3＜OQ＜4， ∴表示的点可能是点Q． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 5．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，越在数轴的左边的数越小，进行作答即可． 【详解】解：依题意，位于左侧的数小于， 则观察数轴，位于左侧， ∴． 故选：A 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 8．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【答案】(1)4 (2)正方形的面积是8，边长是； (3) 【分析】本题考查的是立方根、算术平方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． （1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （3）根据两点间的距离公式可得出D在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为． 故答案为：4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形的面积为：， 边长为：， 答：正方形的面积是8，边长是； （3）解：∵A与重合，， ∴D在数轴上表示的数为． 故答案为：． ( 地 城 考点 06 实数的大小比较 ) 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在，0， ，2四个数中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．比较四个数的大小，即可确定最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是2， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）四个实数，，中，最小的实数是（　 ） A． B．0 C． D．﹣1 【答案】A 【分析】本题考查实数比较大小，掌握知识点是解题的关键． 比较四个实数的大小，先区分正负，再比较负数绝对值的大小． 【详解】解：∵， ∴． ∴四个实数，，中，最小的实数是， 故选A． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）下列比较大小结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较法则“正实数大于0、负实数小于0、正实数大于负实数、负实数绝对值大的反而小”、无理数的估算、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．根据无理数的估算、有理数的乘方、绝对值、实数的大小比较法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以，则此项错误，不符合题意； B、因为，，所以，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以，则此项正确，符合题意； D、因为，，所以，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）在0、2、、π四个数中，最小的数是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，确定点的位置表示的实数是解题关键．首先确定点的位置表示的实数，然后计算线段的中点表示的数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， ∴点的位置表示的实数为， ∴中点表示的实数为． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧）， ∴点E所表示的数为：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； （2）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 【答案】（1）；（2）不能，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，利用平方根解方程，实数的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）根据两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，即可求出大正方形的边长； （2）先求得正方形的边长，设长方形纸片的长为，宽为，列方程后解得x的值，再与正方形的边长比较即可． 【详解】解：（1）由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， 故答案为：； 解：（2）不能，理由如下： ∵正方形的面积为， ∴其边长为， 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（舍负） 那么， 故不能裁出． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就直接放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， ∴，负值舍去 ∴，． 答：长方形信封的长为，宽为． （2）不能， 理由：面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，， ∴，即信封的宽小于正方形贺卡的边长， ∴小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 9．（24-25七年级下·广东中山·期中）综合与实践 课题 中山市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 计算结果 【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮． 【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮 【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，，     即，     解得：， ， ，     由正方形卡片的面积为，得正方形卡片的边长为，     ，， ，     故正方形卡片能直接装进长方形封皮中． 10．（24-25七年级下·广东珠海·期中）用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏．（两个小正方形的面积分别为，） (1)如图1，，，拼成的大正方形边长为 ； 如图2，，，拼成的太正方形边长为_______； 如图3，，，拼成的大正方形边长为_______； (2)（1）中的图3拼得的正方形，沿着它的边的方向剪裁，能否剪出一个面积为6且长宽之比为的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，2， (2)能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可． 【详解】（1）如图1，当，，拼成的大正方形的面积为，因此其边长为； 如图2，当，，拼成的大正方形的面积为，因此其边长为； 如图3，当，，拼成的大正方形的面积为，因此其边长为； 故答案为：，2，； （2）能，理由如下： 设长方形的长为，宽为，则有， 所以， 即， 因此长方形的长为，宽为， 因为， 所以能用正方形剪出一个面积为8.64且长宽之比为的长方形． ( 地 城 考点 07 实数的混合运算 ) 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值，算术平方根，立方根，有理数的乘方进行计算． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）（1）计算： （2）计算： （3）解方程组 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查实数的运算，解二元一次方程组，掌握算理是解决问题的关键． （1）先化简绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算平方，立方根，算术平方根，再进行加减运算即可； （3）运用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ； （3）， 解：②①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）计算 (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义，乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据立方根定义和算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·广东中山·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级下·广东中山·期中）（1）求： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算、利用立方根解方程，熟练掌握实数的运算法则是解题关键． （1）根据，利用立方根的性质解方程即可得； （2）先化简绝对值、计算立方根与算术平方根，再计算乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：（1）， ， ． （2）原式 ． 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方等运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值性质、立方根的运算法则求解即可解答． 【详解】解：原式 ． 7．（24-25七年级下·广东韶关·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式分别化简绝对值，计算乘方和算术平方根，然后再进行加减运算即可； （2）将消去，求出，把代入①，求出，从而可求出方程组的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以，方程组的解为． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题主要考查了实数的运算，和解一元二次方程，解答此题的关键是要明确运算顺序． （1）首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）先系数化为1，然后直接开平方求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ，． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）某市在招商引资期间，为减少固定资产投资，将原有面积为400平方米的正方形场地改建成300平方米的长方形场地，且其长、宽的比为 (1)求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？ (2)如果把原来正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？ 【答案】(1)米，米 (2)栅栏围墙够用．理由详见解析 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）设改建后的长方形场地的长为，宽为，利用长方形的面积公式列方程求解即可； （2）求得正方形的边长，进而求得正方形、长方形的周长，比较大小即可． 【详解】（1）解：设改建后的长方形场地的长为米，宽为米， 由题意得：， 解得， ，， 答：设改建后的长方形场地的长为米，宽为米； （2）解：栅栏围墙够用． 理由如下： 正方形场地的边长为米， 正方形场地的周长为米， 改建后的长方形场地的周长为米， ， 栅栏围墙够用． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合与运算，算术平方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键； （1）先去括号，然后根据实数的运算法则进行计算即可求解； （2）先求算术平方根，化简绝对值，然后进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 11．（24-25七年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．根据算术平方根的定义、绝对值、乘方和有理数除法法则，即可求解． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方、立方根的定义，算术平方根和绝对值的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ( 地 城 考点 08 新定义 与实数运算 ) 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； （2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：． 【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；（2） 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数的混合运算． （1）根据实数的分类填写即可； （2）将，0代入计算即可求解． 【详解】解：（1）填数如下： 即①；②；③1；④；⑤0；⑥； （2）∵，①，⑤0， ∴． 2．（24-25七年级下·广东中山·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以2的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是______． (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：求m的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、不等式等知识点， （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解； 解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或； （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“青一区间”是． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $