专题03 平方根和立方根9大考点（期中真题汇编，广东专用）七年级数学下学期新教材人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03平方根和立方根 目目 考点01 求一个数或代数式的平方根 2 3 4 5 6 B C D C D C 目目 考点02 已知平方根，求这个数 2 3 A C 4.3 5.16 6.16 7.1 8.81 9.4 10.4 11.9 12. 【详解】(1)解：：一个正数的两个不相等的平方根分别是a+6与2a-9, .a+6+2a-9=0, 解得a=1; 2)解：把a=1代入ax2-36=0,得x2-36=0, x2=36, ∴x=±6. 方程的解是x=6,x2=-6; 13. 1/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：正数a的平方根分别是3x-4与2-x, ∴.3x-4+2-x=0, 解得：x=1; (2)解：把x=1代入3×1-4=-1， .正数a=(-12=1. 14. 【详解】解：由题意得，a+6+2a-9=0, 解得：a=1, a+6=7, ÷m=72=49 15. 【详解】解：：一个正数x的平方根分别是a+5和2a-17, a+5+2a-17=0, 解得a=4, :这个正数x的平方根是±9， .x=81. 16. 【详解】(1)解：：一个正数a的两个平方根分别是3b-5和-2b+2, .3b-5+-2b+2)=0, b=3, .a=(3b-5)2=42=16; (2)解：：a=16,b=3, a+3b=16+3×3=16+9=25, 又25的平方根是±5， a+3b的平方根为±5. 目目 考点03 求一个数的算术平方根 2114 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 2 3 4 5 6 8 9 10 C B D A A C A C A 11.-1 12. a 10 13.2 14.104.04 目目 考点04 算术平方根的非负性 2 3 4 5 A A B A B 6.-1 7.-1 8.1 9.0 10. 【详解】(1)解：：2a+b-4与√3b+12互为相反数， .2a+b-4+√3b+12=0, 2a+b-420,√3b+12≥0， .2a+b-4=0,3b+12=0, 解得：a=4,b=-4. (2)解：，a=4,b=-4, .5a-4b=5×4-4×(-4)=36, .5a-4b的平方根为±6. 目目 考点05 估计算术平方根的取值范围 3/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2 3 4 5 6 D A 0 ⊙ 目目 考点06 与算术平方根有关的规律和应用问题 2 3 4 5 C B B B A 6.64 7.√605 8.153.6 9.1.62 10. 【详解】(1)由题意得，大正方形的面积S=（V⑧×2=16(cm), :大正方形的边长=√16=4(cm): (2):大正方形面积为：(1+22=9，两个小长方形面积为：2×1×2=4， :小正方形面积为：9-4=5. 故长方形对角线长度为：√5. (3)不能；理由如下： 设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm. 由题意，得3x·2x=12,即x=√2 此时3x=3√2>4. :不能裁得一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片. 11 【详解】(1)解：由题意，大正方形的面积为8+8=16cm2, :大正方形的边长：V16=4cm: 故答案为：4： (2)设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm, 则2x3x=12, 4/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得：x=√2（负值已舍掉）， 2≈1.414,3x=3√2≈4.242>4， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2. 12. 【详解】(1)解：正方形EFGH的面积为：3x3-4xx1×2=9-4=5 ∴.格点正方形EFGH的边：EH=√5， 故答案为：5；√5； (2)如图，取格点M、N、P、Q,再顺次连接， H P 图③ :正方形MNPQ的面积为：4×4-4××2×2=16-8=8， 2 :格点正方形MWPQ的边长为√⑧， 则正方形MNPQ即为所作. 13 【详解】(1)解：由题意得大正方形的面积为2×200=400(cm2), 设小正方形的边长为acm, 则a2=400, .a=20(舍去负值)， :.大正方形的边长为20cm. (2)解：设长方形纸片的长为5xcm,宽为4xcm. 依题意得：5x·4x=360, 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：x=±8， .x>0, x=18, 5x=5V18, :√18>√16=4， .5V18>20, :不能剪出满足题意的长方形： (3)解：：一共有5个边长为1的小正方形， :组成的大正方形的面积为5， :该大正方形的边长为√5，示意图如下： 14. 【详解】(1)解：大正方形的边长为：162+162=V324=18(cm); 故答案为：18： (2)解：不能，理由如下， 设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm,根据题意得： x.2x=160, 解得：x=45或x=-4V5(舍去)， 长方形的长为8√5(cm), :8V5=√320<V324=18, :.沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形的长为宽的2倍，且面积为160cm2. 15. 【详解】(1)解：：V4-3=2-3=-1,（5-4=3-4=-1, 又：-1=-1， 6/14 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点A(4,3)是“理想点”： :6-8=4-8=-4,(8-16=8-16=-8, 又：-4≠-8， 点B(16,8)不是“理想点”， :V25-15=5-15=-10,（5}-25=15-25=-10, 又：-10=-10， .点C(25,15)是“理想点” 故答案为：A4,3)和C(25,15): 4 (2)解：点Dg是“理想点， 4 9 2 4 5x=x-9 解得x=点 (3)解：：点M(m,m是“理想点”， :√m-m=m}-m,整理可得√m=m, .m=0或m=1, 当m=0时，-m2+-m=-02+0=0, 当m=1时，-m2+-m=-12+-1=-1+(-1)=-2. 综上所述，-m2+-m的值为0或-2. 7/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点07 与立方根有关的计算 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B A D D B A D B 13.4 ±2 14.3 15. ±5 -3 16.3-√2 -5 17. 45 18 【详解】(1)解：由题意得x+5)+4x-10)=0, 解得x=1, x+5=1+5=6, ∴.a=62=36, 即x的值为1，a的值为36： (2)解：a-9=36-9=27, a-9的立方根为27=3. 19. 【详解】(1)解：-27+√4+1-√2 =-3+2+√2-1 =V2-2; 2解：2可-+-32+8 =2-1+x9+(-2) =2-1+1+-2 =0 20. 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：103=1000,1003=1000000， 300763是两位数， :300763的个位数是3， :300763的个位数是7， 如果划去300763后面的三位763得到数300， 而6=216,73=343，由此确定300763的十位数是6， 300763=67,即300763的立方根是67. 目目 考点08 利用平方根和立方根解方程 【详解】(1)解：(x-2)2=36 .x-2=±6， x=8或x=-4. (2)解：(2x-1)3+8=0 移项得(2x-1)3=-8, 2x-1=-2, 1 .x=- 2 x=3或x=-2, 2 【详解】解：“（x-2°=8， x-2=2, 解得：x=4. 3. 【详解】(1)解：25x2-49=0 整理，得25x2=49. x2=49 5 9/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：x=或x=- 7 5 5 (2)解：(x-22=64 71 x-2=3 4 4 :x 32, 10 X=3 目目 考点09 算术平方根和立方根的综合应用 【详解】解：(1)填表如下： a 0.000008 0.008 %6 8000 a 0.02 0.2 2 20 (2)规律：数α的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根ā的小数点就相应地向右或向左移动一位； (3)①32.14≈1.289， 2140≈12.89， .2140介于整数12和13之间： ②：30.001843≈0.1226， .1843≈12.26； ③设正方体的棱长为a米，则a3=1.843, 由②知0.001843≈0.1226， .1.843≈1.226： a≈1.226， .6a2≈9.02（平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮. 2. 10/14 专题03 平方根和立方根 9大高频考点概览 考点01 求一个数或代数式的平方根 考点02 已知平方根，求这个数 考点03 求一个数的算术平方根 考点04 算术平方根的非负性 考点05 估计算术平方根的取值范围 考点06 与算术平方根有关的规律和应用问题 考点07 与立方根有关的计算 考点08 利用平方根和立方根解方程 考点09 算术平方根与立方根的综合应用 ( 地 城 考点01 求一个数或代数式的平方根 ) 1．（2024-2025学年八年级上学期月考数学试题）81的平方根是（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟知定义是解题的关键．根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴81的平方根是：， 故选：B． 2．（七年级下学期第一次月考数学试卷）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟悉平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义：“设和是实数，若，则叫做的平方根，记作．”是解题的关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的平方根为． 故答案选：D． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根，解决此题的关键在于掌握平方根和算术平方根的意义．根据平方根和算术平方根的定义计算即可判断． 【详解】解：A、，故A选项运算错误； B、，故B选项运算错误； C、，故C选项运算正确； D、，故D选项运算错误． 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）若x是4的平方根，则的正的平方根是（   ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，注意：一个正数的平方根有两个．先利用平方根求出，再代入求平方根即可． 【详解】解：是4的平方根， ， 的值为或， 的正的平方根是或， 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根．根据平方根以及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． ( 地 城 考点0 2 已知平方根，求这个数 ) 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意知， 解得：， ∴， ∴这个正数是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东汕头·期中）若是16的一个平方根，则x的值为(    ) A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出． 【详解】解：∵是16的一个平方根， ∴或 解得：或， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的应用，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．16 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得出，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是与， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 4．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如果一个正数的两个平方根分别是和，则_________． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．一个正数的两个平方根互为相反数，依题意，解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：3． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期中）若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为__________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根的定义，一元一次方程的求解，由和是某正数m的两个平方根得，求出a的值，进而求出m的值． 【详解】解：和是某正数m的两个平方根， ， 解得：， ， ， 故答案为：16． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个数的两个平方根互为相反数，列式解答即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴ 解得：， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，且互为相反数的性质．根据平方根的性质解决此题即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ∴，解得， 故答案为：1． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为_____． 【答案】81 【分析】本题考查平方根的性质；熟练掌握正数的平方根的特点是解题的关键．根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 则． 故答案为：81． 9．（24-25七年级下·广东韶关·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则该正数的值是______． 【答案】 【分析】此题考查了平方根的性质，解一元一次方程，根据题意列出方程，然后解出方程，从而求解，解题的关键是掌握平方根的性质． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是与， ∴，解得：， ∴这个正数的两个平方根分别是与， ∴该正数的值是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·广东江门·期中）若一个正数的两个平方根分别为6和，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为6和， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 11．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可建立关于m的方程，解方程求出m的值，再根据平方根的定义求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． ∴方程的解是，； 13．（24-25七年级下·广东惠州·期中）一个正数的平方根分别是与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程，熟练掌握概念是解题的关键． （）根据平方根的概念列出方程，然后解方程即可； （）把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵正数的平方根分别是与， ∴， 解得：； （2）解：把代入， ∴正数． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和特点，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求得a，进而求得m即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·广东江门·期中）一个正数的平方根分别是和，求及的值． 【答案】， 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，列出方程进行解题即可，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴ ， 解得， ∴这个正数x的平方根是， ∴． 16．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． ( 地 城 考点0 3 求一个数的算术平方根 ) 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，一个非负数的非负平方根就是这个数的算术平方根，因为，所以的平方根是，又因为这两个平方根中是非负数，所以的算术平方根是. 【详解】解：， 的平方根是， 又， 的算术平方根是. 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）的值是（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据算术平方根的运算法则即可求解． 【详解】解：的算术平方根是：， 故选：B． 4．（广东省广州市番禺区南村中学2024-2025学年七年级下学期期中中测试数学试题）的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的定义求值即可． 【详解】解：． 故选：D． 5．（24-25七年级下·广东潮州·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东汕头·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：A、，故该选项计算正确，符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 7．（24-25七年级下·广东惠州·期中）的算术平方根是（   ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若a为非负数且满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是2， 故选：C． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）的平方根是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查求平方根，先根据，再求平方根求解即可． 【详解】解：，9的平方根是， 故选：A． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可得． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、无意义，此选项不符合题意； 故选：C． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根、平方根．根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则式子______． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，代数式求值，利用相反数，倒数的定义求出与的值，再整体代入求值即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：，， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）若，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，被开方数的小数点每向右移动两位，那么开方的结果的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算：__________． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的求解，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）一位爱探究思考的同学，利用计算器计算得到下列数据： 请你根据上述规律解决以下问题：已知，，则_____； 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 算术平方根的非负性 ) 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）若，为实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方，代数式求值，解题的关键是确定和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，确定和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值、有理数的大小比较，根据非负数的性质求得，，分别代入求解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴的值最大， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，算术平方根的非负性，根据非负数的性质求出x、y的值是解题的关键． 根据非负数的性质求出，，再将其值代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东云浮·期中）若a，b为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性确定，的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值及算术平方根的非负性，结合已知条件求得，的值是解题的关键． 5．（24-25七年级下·广东珠海·期中），则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先由非负数的性质求出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，根据非负性求出a和b的值是解答本题的关键． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据，得，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东韶关·期中）已知，则=_____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知x，y为实数，且，则_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查非负数的性质，先根据非负数的性质得出且，求得、的值，代入计算即可．解题的关键是掌握算术平方根和偶次方的非负性． 【详解】解：， 且， 则，， ， 故答案为：1． 9．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）若，求的值 【答案】0 【分析】本题主要考查偶数次方、绝对值和算术平方根的非负性，掌握非负数相加等于0，那么每个数都等于0是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，的值，进而即可求解． 【详解】∵，且，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：的值为0． 10．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是相反数的性质，非负数的性质解平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键． （1）由相反数的性质得出，再根据非负数的性质建立方程求解即可； （2）根据（1）中所得、的值得出，再求出平方根即可得答案． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． ( 地 城 考点0 5 估计算术平方根的取值范围 ) 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算．估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了算术平方根的估值．明确是解题关键． ( 地 城 考点0 6 与算术平方根有关的规律和应用问题 ) 1．（24-25七年级下·广东潮州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据所给数据，依次求出，，，，纸的长和宽的比值，然后发现规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算各类型长宽比： ：； ：； ：； ：； ：； 所有比值均接近； ∴型纸的长与宽的比为， 故选：． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东惠州·月考）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 4．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，求出一个正方形的面积，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：（平方分米）； ∴正方体的棱长为分米； 故选B． 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，算术平方根，设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出． 【详解】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y， ∵A的面积为4， ∴， ∵拼接后的大正方形的面积是5， ∴， ∴， ∴图1中原长方形的长为：，宽为， ∴图1中原长方形的周长为， 故选：A． 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，肇事汽车的车速大约是_______． 【答案】64 【分析】本题考查了算术平方根的应用．将题目中给定的，，代入到经验公式中，然后通过根式运算求出的值即可． 【详解】解：将，，代入得： ， 故答案为：64． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东中山·期中）观察下表，________． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【答案】 【分析】直接利用表格中数据得出，则，即可得出答案．此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算出大正方形的面积，再求算术平方根即可； （2）先求出中间小正方形的面积，再求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为．求出x的值， 进而求出长方形纸片的长，与（1）中结果进行比较即可． 【详解】（1）由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， 小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． （3）不能；理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 11．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)4 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长：； 故答案为：4； （2）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值已舍掉）， ， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，算术平方根的应用，等积变换， （1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边：， 故答案为：；； （2）如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 13．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)不能剪出满足题意的长方形，见解析 (3)能，大正方形的边长为，见解析 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． （2）解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 不能剪出满足题意的长方形； （3）解：一共有5个边长为1的小正方形， 组成的大正方形的面积为5， 该大正方形的边长为，示意图如下： 14．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知有两块大小相同、面积为的长方形纸板拼接成一块大正方形纸板， (1)大正方形纸板的边长为______； (2)若要在这块正方形纸板上沿边长方向剪出一块长方形纸板，要求长方形的长为宽的2倍，且面积为．请问能否剪出符合要求的长方形纸板？请说明理由． 【答案】(1)18 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：； 故答案为：18； （2）解：不能，理由如下， 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 长方形的长为， ∵， ∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形的长为宽的2倍，且面积为． 15．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． ( 地 城 考点0 7 与立方根有关的计算 ) 1．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根． 根据平方根的定义解答A，再根据立方根的性质解答B，然后根据算术平方根的定义解答选项C，D． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确； 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是5的一个平方根 D．8的立方根是 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义及运算顺序逐一分析选项． 本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的平方根是，错误，本选项，不符合题意；     B. ，没有平方根，错误，本选项，不符合题意； C. 是5的一个平方根，正确，本选项，符合题意；     D. 8的立方根是２，错误，本选项，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根，掌握平方根、算术平方根及立方根的定义是银题的关键． 根据平方根、算术平方根及立方根的定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A． ，原计算错误，故此选项不符合题意． B． ，正确，故此选项符合题意． C． ，算术平方根非负，原计算错误，故此选项不符合题意． D． ，因，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：2的立方根是， 故选：A 5．（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义，熟知一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根是解答此题的关键．据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选D． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根等，熟练掌握相关内容是解题的关键；根据平方根、立方根的定义及运算性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、表示的立方根，结果为负数，即，故A选项不符合题意； B、表示9的算术平方根，结果为非负数，即，而是平方根，故B选项不符合题意； C、，，故，故C选项符合题意； D、（算术平方根非负），而D中结果为，故D选项不符合题意； 故选：C 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根、合并同类二次根式，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 利用算术平方根、立方根、合并同类二次根式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 8．（24-25七年级下·广东湛江·期中）下列结论正确的是（    ） A．立方根等于本身的数只有 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根及立方根的知识，根据算术平方根及立方根的定义逐一分析即可求解，掌握算术平方根及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：立方根等于本身的数有，故错误； 的立方根为，故错误； 的算术平方根是，故错误； 的算术平方根是，故正确； 故选：． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列结论错误的是（　　） A．有立方根 B． C． D．是1的平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解本题的关键．利用平方根及立方根的定义解答即可． 【详解】解：A、有立方根，原结论正确，故此选项不符合题意； B、， 原结论错误，故此选项符合题意； C、，原结论正确，故此选项不符合题意； D、是1的平方根，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 10．（24-25七年级下·广东江门·期中）若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 【答案】A 【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 11．（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列说法不正确的是（   ） A．225的平方根是 B．的立方根是 C．4是16的平方根 D．是49的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的定义，正确理解平方根、算术平方根及立方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根及立方根的定义，即可判断答案． 【详解】解：A、根据平方根的定义，选项A正确，不符合题意； B、根据立方根的定义，选项B正确，不符合题意； C、根据平方根的定义，选项C正确，不符合题意； D、因为7是49的算术平方根，但不是49的算术平方根，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 根据平方根，立方根的定义，估算求出的，的值，代入求值，再通过平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是，即的平方根是， 故选：． 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）64的立方根是_______，的平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用立方根的定义、平方根的定义分别得出答案即可，注意需先求解值，再求平方根． 【详解】解： ， 的立方根为， ，的平方根是， 的平方根是． 故答案为：， ． 14．（24-25七年级下·广东湛江·期中）当时，___________． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键； 利用立方根解方程即可． 【详解】解： ； 故答案为：3． 15．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）25的平方根是______，的立方根是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的平方根是，的立方根是， 故答案为：；． 16．（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是_______ ，的立方根是_________，的平方根是_________ 【答案】 【分析】本题考查立方根与平方根，解题的关键是根据相反数、立方根及平方根的意义将各个数化简即可． 【详解】解：的相反数是：， 的立方根是：， 的平方根是：． 故答案为：；；． 17．（24-25七年级下·广东江门·期中）16的算术平方根是_____，125的立方根是_____． 【答案】 4 5 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根的定义，能理解立方根、算术平方根的定义是解此题的关键；根据立方根、算术平方根的定义，求出答案即可. 【详解】∵， ∴16的算术平方根是4， ∵， ∴125的立方根是5， 故答案为：4，5 18．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)x的值为1，a的值为36 (2)3 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可； （2）根据立方根的定义求的立方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ， ， 即x的值为1，a的值为36； （2）解：， 的立方根为． 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简立方根、算术平方根，以及绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先化简立方根、算术平方根，乘方以及绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 【答案】67 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键． 利用题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是， ∴的个位数是， 如果划去后面的三位得到数， 而，，由此确定的十位数是， ∴，即的立方根是． ( 地 城 考点0 8 利用平方根和立方根解方程 ) 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）求下列各等式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义求解可得； （2）由原式可得，根据立方根定义可得． 【详解】（1）解： ， 或． （2）解： 移项得， ， ． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求立方根，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先求出，再解方程即可． 【详解】解：， ， 解得：． 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程； （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）直接利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： 整理，得． ∴， 解得：或． （2）解：， ∴， ∴， ∴； ( 地 城 考点0 9 算术平方根和立方根的综合应用 ) 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； （2）为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 5．（江苏省苏州市昆山、太仓、常熟、张家港四市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)= ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，；，；， 【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：，即， ∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是的立方根是1． (1)分别求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求一个数的立方根以及算术平方根、平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根求出x，由立方根求出y，即可作答． （2）把和代入，再求其平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， 则，解得； ∵的立方根是1， 则， 解得：． （2）解：根据（1）可得，， ， ∴的平方根为． 7．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求的算术平方根． (2)解关于的方程：． 【答案】(1)3； (2)，． 【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方根和立方根的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意得到，，解得，，代入即可求解； （2）把，代入方程中，求解即可． 【详解】（1）解： 一个正数的两个平方根是和，的立方根为， ，， 解得：，， ， ， 的算术平方根是3； （2）解：，， ， ， ， 解得：，． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知的算术平方根为，立方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根，立方根的计算，掌握算术平方根、平方根、立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的计算方法即可求解； （2）由（1）可得，的值，代入计算，再根据平方根的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根为， ∴， ∵立方根为， ∴， ∴， 解得：， 即，； （2）解：∵， ∴的平方根为． 9．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根； (3)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出，即可求解； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的性质求出，结合（1）中的计算即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得：， 一个数的两个不同的平方根分别是， 这个正数是； （2）这个正数是， 这个正数的立方根是； （3）的立方根是， ， 解得：， 由（1）知， ， 的算术平方根是． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平方根和立方根 9大高频考点概览 考点01 求一个数或代数式的平方根 考点02 已知平方根，求这个数 考点03 求一个数的算术平方根 考点04 算术平方根的非负性 考点05 估计算术平方根的取值范围 考点06 与算术平方根有关的规律和应用问题 考点07 与立方根有关的计算 考点08 利用平方根和立方根解方程 考点09 算术平方根与立方根的综合应用 ( 地 城 考点01 求一个数或代数式的平方根 ) 1．（2024-2025学年八年级上学期月考数学试题）81的平方根是（   ） A．9 B． C． D．3 2．（七年级下学期第一次月考数学试卷）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）若x是4的平方根，则的正的平方根是（   ） A．1 B． C．1或5 D．1或 6．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 2 已知平方根，求这个数 ) 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．25 B．16 C．8 D．2 2．（24-25七年级下·广东汕头·期中）若是16的一个平方根，则x的值为(    ) A．1 B． C．1或 D． 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．16 4．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如果一个正数的两个平方根分别是和，则_________． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期中）若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为__________． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是________． 7．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为______． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为_____． 9．（24-25七年级下·广东韶关·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则该正数的值是______． 10．（24-25七年级下·广东江门·期中）若一个正数的两个平方根分别为6和，则的值为______． 11．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是_________． 12．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 13．（24-25七年级下·广东惠州·期中）一个正数的平方根分别是与． (1)求的值； (2)求的值． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 15．（24-25七年级下·广东江门·期中）一个正数的平方根分别是和，求及的值． 16．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． ( 地 城 考点0 3 求一个数的算术平方根 ) 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）的值是（   ） A．8 B． C．4 D．2 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 4．（广东省广州市番禺区南村中学2024-2025学年七年级下学期期中中测试数学试题）的值是（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25七年级下·广东潮州·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D．5 6．（24-25七年级下·广东汕头·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东惠州·期中）的算术平方根是（   ） A．8 B．4 C．2 D． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）的平方根是（　　） A． B．3 C． D．9 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则式子______． 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）若，，则________． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算：__________． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）一位爱探究思考的同学，利用计算器计算得到下列数据： 请你根据上述规律解决以下问题：已知，，则_____； ( 地 城 考点0 4 算术平方根的非负性 ) 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）若，为实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25七年级下·广东云浮·期中）若a，b为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 5．（24-25七年级下·广东珠海·期中），则（　　） A． B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，则_______． 7．（24-25七年级下·广东韶关·期中）已知，则=_____． 8．（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知x，y为实数，且，则_____ ． 9．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）若，求的值 10．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． ( 地 城 考点0 5 估计算术平方根的取值范围 ) 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 ( 地 城 考点0 6 与算术平方根有关的规律和应用问题 ) 1．（24-25七年级下·广东潮州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东惠州·月考）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，肇事汽车的车速大约是_______． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是_____． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，，则______． 9．（24-25七年级下·广东中山·期中）观察下表，________． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 10．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 11．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 13．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 14．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知有两块大小相同、面积为的长方形纸板拼接成一块大正方形纸板， (1)大正方形纸板的边长为______； (2)若要在这块正方形纸板上沿边长方向剪出一块长方形纸板，要求长方形的长为宽的2倍，且面积为．请问能否剪出符合要求的长方形纸板？请说明理由． 15．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ( 地 城 考点0 7 与立方根有关的计算 ) 1．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是5的一个平方根 D．8的立方根是 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·广东湛江·期中）下列结论正确的是（    ） A．立方根等于本身的数只有 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列结论错误的是（　　） A．有立方根 B． C． D．是1的平方根 10．（24-25七年级下·广东江门·期中）若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 11．（24-25七年级下·广东阳江·期中）下列说法不正确的是（   ） A．225的平方根是 B．的立方根是 C．4是16的平方根 D．是49的算术平方根 12．（24-25七年级下·广东广州·期中）若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）64的立方根是_______，的平方根是_____． 14．（24-25七年级下·广东湛江·期中）当时，___________． 15．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）25的平方根是______，的立方根是____________． 16．（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是_______ ，的立方根是_________，的平方根是_________ 17．（24-25七年级下·广东江门·期中）16的算术平方根是_____，125的立方根是_____． 18．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）计算 (1) (2) 20．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． ( 地 城 考点0 8 利用平方根和立方根解方程 ) 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）求下列各等式中x的值： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． ( 地 城 考点0 9 算术平方根和立方根的综合应用 ) 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 5．（江苏省苏州市昆山、太仓、常熟、张家港四市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)= ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是的立方根是1． (1)分别求、的值； (2)求的平方根． 7．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求的算术平方根． (2)解关于的方程：． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知的算术平方根为，立方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 9．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根； (3)求的算术平方根． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $