专题06 二元一次方程组15大考点（期中真题汇编，广东专用）七年级数学下学期新教材人教版

专题06 二元一次方程组 ( 地 城 考点01 二元一次方程的概念和解 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A B C D A D C A ( 地 城 考点02 二元一次方程组的概念和解 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A D C C D C B A B B ( 地 城 考点0 3 列方程 ) 1 2 3 4 5 6 7 A A A C D A A ( 地 城 考点0 4 代入消元法和加减消元法 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B D D A D C B C 11.3 12.1 13. 14. 2 15. 16. 17. 18. 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 把代入③，得：， 所以这个方程组的解为． 19. 【详解】解：， 由①得③， 把③代入②，得．解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 20. 【详解】（1）解： ∴当时，；当时，， ∴方程的解为：或． （2）解： 将①代入②得 解得， 再将代入①得 则方程的解为 21. 【详解】（1）解：， 则， 所以，； （2）解：， 得：， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 22. 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴，； （2）解：由题意可得或， 解得或， ∴点N的坐标为或． 23. 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 将代入，得 解得， ∴，； （2）解：将，代入方程得 整理得，即或 ∴或． 24. 【详解】解： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为． 25. 【详解】（1）解：， ①-②，得， 解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解是； （2）， ， 或， 或． ( 地 城 考点0 5 特殊解法 ) 1 2 3 C D B 4. 5. 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 6. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 7. 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 8. 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． ( 地 城 考点0 6 错解复原问题 ) 1 2 A C 3. 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． ( 地 城 考点0 7 构造二元一次方程组 ) 1. 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 2. 【详解】（1）解：设点的“1系友好点”的坐标是， 根据题意可得，， ∴点的“1系友好点”的坐标是； 设点的“系友好点”的坐标是， 则， 解得， ∴这个点的坐标是； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ； ∵， ∴当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为， ∵为正整数，即为正偶数， ∴点的横坐标与纵坐标之和为； （3）解：∵点A是点的“系友好点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设点的坐标是， ∵点在轴正半轴上，“k系友好点”为点， ∴， ∴ ∴点的坐标是， ∵点在轴正半轴上， ∴，， 当时， ∵为定值， ∴，即， 此方程无解， 当时， ， ∵为定值， ∴，即， 解得或（舍去）， 综上，． 3. 【详解】（1）解：，， 点“2级关联点”的坐标为， 故答案为：； （2）解：点的“3级关联点”的坐标为， ，解得：， 点的坐标为； （3）解：点的“级关联点”的坐标为， ， ，即 ∴原方程组为： ∴ ∴ 解得：． 4. 【详解】解：（1） ； （2）∵的算术平方根是3， ∴， ∵的立方根是2， ∴， 联立得， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 5. 【详解】解：由题意得：， 解得， 则． ( 地 城 考点 08 同解问题 ) 1 2 B C 3. 【详解】（1）解： 方程组和的解相同， ， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 方程组的解为； （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ，解得. 4. 【详解】（1）解： 得：， ∴， 代入①可得， ∴ （2）解：∵两个方程组的解相同， ∴解方程组，得， 代入另两个方程，得， 解得， ∴． 5. 【详解】解：根据题意，四个方程同时成立，所以有方程组 解得， 代入其余两个方程，得 解得． 6. 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． ( 地 城 考点 09 二元一次方程组实际问题-方案问题 ) 1. 【详解】（1）解：设租用A型号客车，每辆车租金是元；租用B型号客车，每辆车租金是元， 由题意得：， 解得：， 答：租用A型号客车，每辆车租金是300元；租用B型号客车，每辆车租金是500元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 由题意得，， ∴， 、都是正整数， ∴是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； ∴一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 2. 【详解】（1）设每辆A型车满载时一次可运输x吨，每辆B型满载时一次可运输y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车满载时一次可运输3吨，1辆B型满载时一次可运输4吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该学校共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 费用为（元） 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 费用为（元） 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 费用为（元） ∵， ∴学校最省钱租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车． 3. 【详解】（1）解：设租用1套男装一天x元，租用女装需要y元， 由题意得，， 解得：， 答：租用1套男装一天40元，租用女装需要50元； （2）解：根据题意得：（元）． 答：演出当天租用服装实际需支付租金为660元． 4. 【详解】（1）解：设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， ∴每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， 当时，则； 当时，则； ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车； 方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； （3）解：方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，理由如下： 当租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， ∵ ∴应选择方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，费用最少． ( 地 城 考点 10 二元一次方程组实际问题-行程问题 ) 1. 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 2. 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． ( 地 城 考点 11 二元一次方程组实际问题-销售利润问题 ) 1. 【详解】解：①若购甲、乙两种型号．设购进甲型号手机部，乙型号手机部．根据题意，得 ， 解得 所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部． ②若购甲、丙两种型号．设购进甲型号手机部，丙型号手机部．根据题意，得     ，解得：． 所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部． 综上所述，商场共有两种进货方案：方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部． 2. 【详解】解：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元． 3. 【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下： 设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件， 根据题意得：， 解得：， 实验耗材的单价不能为负， 小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材； 方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材． 4. 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 5. 【详解】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得： ， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴； 答：B款加料的奶茶买了11杯． ( 地 城 考点 12 二元一次方程组实际问题-和差倍分问题 ) 1.【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 2. 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 3. 【详解】（1）解：设打折前商品的单价为元，商品的单价为元． 依题意，得，解得 故打折前商品的单价为9元，商品的单价为12元． （2）设该商店打折出售这两种商品． 依题意，得，解得． （元）． 故该商店打八折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠． ( 地 城 考点 13 二元一次方程组实际问题-古代问题 ) 1.【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． ( 地 城 考点 14 二元一次方程组实际问题-其它问题 ) 1. 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ． （2）解：由（1）得，， 元， 答：小丽需要付元钱的快递费． 2. 【详解】解：设菜包每个x元，油条每根y元． 依题意得：， 解得： 按这个价可得小新应付款（元）， ∵， ∴多付了 (元)， 故菜包，油条的单价分别为2元，元，小新购买早点的付款有误，多付了1元． 3. 【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装10瓶． 4. 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 5. 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 6. 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：3； （2）解：根据题意得，， ， ∵m，n为整数， ∴，， ∴； （3）解：设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克， 化简得： 解得： 答：一个小球的质量为20克. ( 地 城 考点 15 三元一次方程组问题 ) 1. 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，则， 把④代入②得：，解得， 把代入④得：， 把，代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 2. 【详解】解：，得， ∴，④ ，得， ，得， ，得， ∴原方程组的解为． 3. 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组 15大高频考点概览 考点01 二元一次方程的概念和解 考点02 二元一次方程组的概念和解 考点03 列方程 考点04 代入消元法和加减消元法 考点05 特殊解法 考点06 错解复原问题 考点07 构造二元一次方程组求解 考点08 同解问题 考点09 二元一次方程组实际问题-方案问题 考点10 二元一次方程组实际问题-行程问题 考点11二元一次方程组实际问题-销售利润问题 考点12 二元一次方程组实际问题-和差倍分问题 考点13二元一次方程组实际问题-古代问题 考点14 二元一次方程组实际问题-几何图形问题 考点15 三元一次方程组问题 ( 地 城 考点01 二元一次方程的概念和解 ) 1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列四个方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程，故本选项符合题意； C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 4．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列四组数中，是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．将各选项中的和代入方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：A：将，代入方程：，不满足方程，故本选项不符合题意； B：将，代入方程：，不满足方程，故本选项不符合题意； C：将，代入方程：，等式成立，满足方程，故本选项符合题意； D：，代入方程：，不满足方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各对x，y的值中，（   ）不是方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项的、值代入方程，验证等式是否成立．若左边计算结果不等于5，则该选项不是方程的解． 【详解】解：选项A：代入，， ，等式成立，是方程的解． 选项B：代入，， ，等式成立，是方程的解． 选项C：代入，， ，等式成立，是方程的解． 选项D：代入，， ，等式不成立，不是方程的解． 综上，D不是方程的解． 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）下列各组数中是方程的解的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把四组解分别代入方程，进行解答即可． 【详解】解：①把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故①不符合题意； ②把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故②不符合题意； ③把，代入方程，左边，右边，左边≠右边，故③不符合题意； ④把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故④不符合题意； 综上所述，是方程的解的有0个． 故选：A． 7．（24-25七年级下·广东珠海·期中）若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程中得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 8．（24-25七年级下·广东江门·期中）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟记方程的解：就是使方程的左右两边相等的未知数的值，是解题的关键．把的值代入二元一次方程，然后解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入得，， 解得． 故选：C． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各组是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中，的值代入原方程，取使得方程左边=方程右边的选项，即可得出结论． 【详解】解：当时，方程左边，方程右边，， 方程左边=方程右边， 是二元一次方程的解，选项符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 故选：． ( 地 城 考点02 二元一次方程组的概念和解 ) 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，根据二元一次方程组的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程组的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、方程组含有三个未知数（、、），故不符合题意； B、方程组含有两个未知数（、），且每个方程均为一次方程，符合题意； C、第一个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； D、第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东惠州·期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的识别，解题关键是理解二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义，对四个方程组逐一分析作出判断． 【详解】解：方程组为，两个方程均只含未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程组的条件，它是二元一次方程组，故A符合； 方程组为，含三个未知数、、，不符合“二元”要求，它不是二元一次方程组，故B不符合； 方程组为，第一个方程含二次项，次数为2，不符合“一次”要求，它不是二元一次方程组，故C不符合； 方程组为，第二个方程化简为，含二次项，次数为2，不符合“一次”要求，它不是二元一次方程组，故D不符合， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据由2个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组是二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、第一个方程含项（次数为2），不是一次方程，不符合题意； B、第一个方程含分式，不是整式方程，不符合题意； C、方程组共有三个未知数，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选D． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程”判断即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，此项不符合题意； B、方程组中的第二个方程不是一次方程，此项不符合题意； C、是二元一次方程组，此项符合题意； D、方程组中的第一个方程不是整式方程，此项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的解分别代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即为所求． 【详解】解：A、把代入方程，，不满足题意； B、把代入方程，，不满足题意； C、把代入方程，，满足题意； D、把代入方程，，不满足题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．能正确掌握方程的解得概念是解答此题的关键． 8．（24-25七年级下·山西晋城·月考）方程组的解为，则“■”“★”表示的数分别是（   ） A．6，4 B．5，1 C．4，1 D．3，2 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将代入方程组即可得到以“■”“★”为求知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：B． 9．（24-25七年级下·广东清远·期中）若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 10．（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知是方程的一组解，则m的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键． 把解代入方程，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得， 故选：B． 11．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5，则k的值为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先解方程组，利用表示出、的值，然后代入，即可得到一个关于的方程，求得的值． 【详解】解： ， 由得， 解得， 把代入得， 解得． ， ， 解得． 故选． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于 、的方程组是关键． ( 地 城 考点0 3 列方程 )1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知是二元一次方程2x-y=14的解，则k的值是（     ） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将方程2x-y=14中x，y用k替换得到k的一元一次方程，进行求解． 【详解】将代入二元一次方程2x-y=14，得 7k=14， 解得k=2． 故选A． 【点睛】考查了二元一次方程的解的定义，只需把方程的解代入，进一步解一元一次方程即可． 2．（河南省郑州市管城回族区外国语学校2022-2023学年八年级数学上学期期末试卷）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）地理老师介绍：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．小东为了求出长江和黄河的长度，设长江长为x千米，黄河长为y千米，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设长江长为千米，黄河长为千米，根据长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设长江长为千米，黄河长为千米， ∵长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意找出等量关系，是解题的关键．设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意得： ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）某服装厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成一批玩具礼盒，一个玩具礼盒搭配1个玩偶和2个玩偶，已知每米布料可做2个玩偶或3个玩偶，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据生产玩偶的布料的总长度及生产的玩偶的总数量是生产的玩偶总数量的2倍，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：现计划用136米这种布料生产这批盲盒，用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ； 每米布料可做2个玩偶或3个玩偶，一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，且生产的两种玩偶恰好配套， ． 根据题意可列出方程组． 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东东莞·期中）在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人， 由题意得，， 故选：． 7．（24-25七年级下·广东珠海·期中）《九重算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中卷八方程［七］中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用．根据题意可列出程组． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由题意得： ； 故选：A． ( 地 城 考点0 4 代入消元法和加减消元法 ) 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东中山·期中）由可以得到用含x的式子表示y为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质求解即可． 【详解】解：由得， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，用的代数式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用代入消元法，根据等式的性质将方程变形是解题的关键． 根据等式的性质将方程变形即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）用代入法解方程组时，代入正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解本题的关键． 根据方程组的特点，用代入消元法将方程①变形后代入方程②可得出正确选项. 【详解】解： 由①得， 将③代入②，得 故选D. 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）用代入法解方程组时，代入正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．将②代入①整理即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①得， ， 去括号得，． 故选：A． 6．（24-25七年级下·广东东莞·期中）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程的应用，关键是把方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度不大．解方程②求出，把的值代入①能求出，即可得出答案． 【详解】解：， 解方程②得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为：， 故选：D 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为正整数解的有5对． 以上说法中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法求出方程的解为，则可推出，，据此逐一求解判断即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴方程即为，解得，故①正确； 若，则，解得，故②正确； ∵， ∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴原方程组的正整数解有，，，共3对，故④错误； 故选：C． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）以方程组的解为坐标的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平面直角坐标系中点的特点，掌握解二元一次方程组的方法是关键． 根据题意运用代入消元法解二元一次方程组，再结合平面直角坐标系中点的符号判定即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为， ∴坐标为， ∴点在第二象限， 故选：B ． 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）解方程组 ，较简便的方法是（ ） A．，消x B．，消x C．，消y D．，消y 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 观察两个方程组可知，消y，，消x，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，消y， ，消x， 故选：C． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）方程组 的解是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为：， 故答案为： 11．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 12．（24-25七年级下·广东江门·期中）方程组的解是，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值； 将x与y的值代入方程组，得到，进而即可确定出的值． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得：， ∴， 故答案为：1 13．（24-25七年级下·广东中山·期中）方程组的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解∶， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知，且x、y互为相反数，则______． 【答案】2 【分析】本题考查解二元一次方程组、相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答的关键．根据相反数的性质得到，然后代入得到，进而解方程求解即可． 【详解】解：∵x、y互为相反数， ∴，则， 将代入中，得， 解得， 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知，若用y的形式表示x，则__________． 【答案】 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，把一个未知数当做常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 16．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，用含y的代数式示x，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先移项，得出，然后方程两边同除以2，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知，用含的代数式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，把y当作已知条件，用y表示出x的值即可． 【详解】解：， 移项得，， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）（用代入消元法）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 把代入③，得：， 所以这个方程组的解为． 19．（24-25七年级下·广东湛江·期中）解下列方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据代入消元法即可得到答案． 【详解】解：， 由①得③， 把③代入②，得．解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 20．（23-24七年级下·广东珠海·期中）解方程或方程组： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查解方程，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，加减消元法，利用平方根的知识解方程． （1）两边同时除以，然后开方，移项，即可； （2）令利用代入消元法将①代入②，求出，再把的值代入，即可求得． 【详解】（1）解： ∴当时，；当时，， ∴方程的解为：或． （2）解： 将①代入②得 解得， 再将代入①得 则方程的解为 21．（24-25七年级下·广东东莞·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根定义应用，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算即可． （1）利用平方根定义解方程即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 则， 所以，； （2）解：， 得：， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 22．（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点M在第一象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，求m，n值； (2)若轴，且，求点N的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了象限内点的坐标符号特征，点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解二元一次方程组，解题的关键是掌握点到轴距离等于纵坐标的绝对值，到轴距离等于横坐标的绝对值；平行于轴的直线上的点纵坐标相等，平行于轴的直线上的点横坐标相等． （）根据第一象限内点的坐标符号特征及点到轴的距离与到轴的距离列方程组，然后解之即可求解； （）根据轴，得到点的横坐标相等，结合两点距离可得方程组，然后解方程组即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴，； （2）解：由题意可得或， 解得或， ∴点N的坐标为或． 23．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同． (1)求a，b的值； (2)解关于m的方程：． 【答案】(1)， (2)或 【分析】此题考查了解二元一次方程组及方程组的解，平方根，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解． （1）先解方程组求得，再代入方程组正确求得a，b的值即可； （2）将a，b的值代入得到，利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 将代入，得 解得， ∴，； （2）解：将，代入方程得 整理得，即或 ∴或． 24．（23-24七年级下·广东广州·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法，方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为． 25．（24-25七年级下·广东广州·期中）解下列方程组； (1)；     (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 本题考查了解二元一次方程组，平方根，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ①-②，得， 解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解是； （2）， ， 或， 或． ( 地 城 考点0 5 特殊解法 )1．（24-25七年级下·广东江门·期中）若关于的方程组满足，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】方程组中两方程相加求出，然后根据列式，求出k的值即可．此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）若x，y满足方程组，则的值为（   ） A．17 B．9 C．21 D．34 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组．熟练掌握条件和结论的关系，适当变形，是简便计算的关键． 通过观察方程组的结构，可以将两个方程都乘2后相加，即可直接求出目标表达式的值． 【详解】解：已知方程组：， 将方程①乘以2，方程②也乘以2， 得到． 将③和④相加， 得． 即． 因此，的值为34． 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加即可求解，掌握整体法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·广东珠海·期中）若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案． 【详解】解：原式变形可得， 令， 则化简为：， 方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， ∴ ∴， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案． 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 8．（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1， (2)； (3)． 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． ( 地 城 考点0 6 错解复原问题 ) 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出m，n的值，再代入新的二元一次方程组即可得出答案． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， ， ， ， 关于，的二元一次方程组是， ， ， ， ， ， ， 关于，的二元一次方程组的解为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，本题的解题关键是先求出m，n的值，再代入新的二元一次方程组即可得出答案． 2．（华东师大版2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义是解题关键． （1）甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，把他的解代入②中解得；乙看错了②中的得到方程组的解为，那么他的解对①也是正确的，把他的解代入①中，解得； （2）解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． ( 地 城 考点0 7 构造二元一次方程组 ) 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． (1)点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； (2)点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； (3)已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； (4)点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）设点的“1系友好点”的坐标是，根据新定义即可求出点的“1系友好点”的坐标；设点的“系友好点”的坐标是，根据新定义得到，解得，即可得到这个点的坐标； （2）根据新定义求出，，，结合，可以发现当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为，再判断出为正偶数，即可得出结论； （3）根据点A是点的“系友好点”得到，由得到，则，由点在第二象限得到，即可得到，进而得到，即可得到点A的坐标； （4）设点的坐标是，根据“k系友好点”为点得到，则点的坐标是，由点在轴正半轴上得到，，分和两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设点的“1系友好点”的坐标是， 根据题意可得，， ∴点的“1系友好点”的坐标是； 设点的“系友好点”的坐标是， 则， 解得， ∴这个点的坐标是； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ； ∵， ∴当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为， ∵为正整数，即为正偶数， ∴点的横坐标与纵坐标之和为； （3）解：∵点A是点的“系友好点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设点的坐标是， ∵点在轴正半轴上，“k系友好点”为点， ∴， ∴ ∴点的坐标是， ∵点在轴正半轴上， ∴，， 当时， ∵为定值， ∴，即， 此方程无解， 当时， ， ∵为定值， ∴，即， 解得或（舍去）， 综上，． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，存在一个点，若点的坐标为，则称点是点的“级关联点”（其中为常数，且）．例如，点的“级关联点”为，即． (1)若点的坐标为，则它的“2级关联点”的坐标为__________； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点，它的坐标满足，点的“级关联点”的坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形，二元一次方程组的应用，正确理解已知定义是解题关键． （1）根据已知定义求解即可； （2）根据已知定义列二元一次方程组求解即可； （3）根据已知定义，得到，再根据，列方程组，得出，即可求得的值． 【详解】（1）解：，， 点“2级关联点”的坐标为， 故答案为：； （2）解：点的“3级关联点”的坐标为， ，解得：， 点的坐标为； （3）解：点的“级关联点”的坐标为， ， ，即 ∴原方程组为： ∴ ∴ 解得：． 4．（24-25七年级下·广东广州·期中）（1）计算：； （2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】（1）；（2）的平方根是． 【分析】本题考查了立方根和平方根、算术平方根的综合应用， （1）根据绝对值、立方根和算术平方根的性质化简，再计算加减即可； （2）根据立方根和算术平方根的性质，联立得到二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵的算术平方根是3， ∴， ∵的立方根是2， ∴， 联立得， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在方格内填入 9 个数，满足每个横行、竖列、对角线上的三个数字之和都相等，求的值． 5 1 【答案】． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用．根据行、列、对角线上三个数字之和都相等，列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则． ( 地 城 考点 08 同解问题 ) 1．（24-25七年级下·广东惠州·期中）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【答案】B 【分析】本题考查已知二元一次方程组的错解求参数，将代入方程②，将代入方程①即可求解； 【详解】解：将代入方程②：； 化简得：； 将代入方程①：； 化简得：； ∴， 故选：B 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出的值． 【详解】解：把代入方程组， 得：， ①+②，得：， 则． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义； （1）根据同解方程的含义可得，再利用加减消元法解方程组即可； （2）把代入方程和方程，再进一步求解即可. 【详解】（1）解： 方程组和的解相同， ， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 方程组的解为； （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ，解得. 4．（24-25七年级下·广东东莞·期中）计算： (1) (2)已知方程组与方程组的解相同．求的值 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组. （1）直接根据加减消元法计算即可； （2）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可，最后求出的值． 【详解】（1）解： 得：， ∴， 代入①可得， ∴ （2）解：∵两个方程组的解相同， ∴解方程组，得， 代入另两个方程，得， 解得， ∴． 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知关于的方程组与同解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：根据题意，四个方程同时成立，所以有方程组 解得， 代入其余两个方程，得 解得． 6．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． ( 地 城 考点 09 二元一次方程组实际问题-方案问题 ) 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，具体写出共有多少种租车方案？哪种方案，花费最少？ 【答案】(1)租用A型号客车，每辆车租金是300元、租用B型号客车，每辆车租金是500元 (2)一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A型号客车，每辆车租金是元、租用B型号客车，每辆车租金是元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A型号客车，每辆车租金是元；租用B型号客车，每辆车租金是元， 由题意得：， 解得：， 答：租用A型号客车，每辆车租金是300元；租用B型号客车，每辆车租金是500元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 由题意得，， ∴， 、都是正整数， ∴是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； ∴一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）学校计划将一批捐赠图书运往乡村小学．已知使用2辆型车和1辆型车满载时，可运输10吨图书；使用1辆型车和2辆型车满载时一次可运输11吨图书．现有31吨图书需要一次性运输完毕，学校计划同时租用型车辆和型车辆，且每辆车都满载．解答下列问题： (1)求出每辆，型车满载时分别可运输多少吨？ (2)租用一辆型车、型车分别需要300元、380元，请你帮学校设计最省钱租车方案． 【答案】(1)每辆A型车满载时一次可运输3吨，每辆B型满载时一次可运输4吨； (2)学校最省钱租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型车满载时一次可运输x吨，每辆B型满载时一次可运输y吨，使用2辆型车和1辆型车满载时，可运输10吨图书；使用1辆型车和2辆型车满载时一次可运输11吨图书．据此列方程组并接方程组即可； （2）根据现有31吨图书需要一次性运输完毕列方程，求出整数解，再求出方案的费用比较后即可得到答案． 【详解】（1）设每辆A型车满载时一次可运输x吨，每辆B型满载时一次可运输y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车满载时一次可运输3吨，1辆B型满载时一次可运输4吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该学校共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 费用为（元） 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 费用为（元） 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 费用为（元） ∵， ∴学校最省钱租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）为参加学校艺术节闭幕演出，七年级一班欲租用男、女演出服装若干套以供演出时使用，已知4套男装和6套女装租用一天共需租金460元，4套男装和10套女装租用一天共需租金660元. (1)租用1套男装、女装一天的价格分别是多少？ (2)由于演出时间错开租用高峰时段，男装、女装一天的租金分别给予九折和八折优惠，若该班演出团由5名男生和12名女生组成，求在演出当天该班租用服装实际支付的租金是多少？ 【答案】(1)租用1套男装一天40元，租用女装需要50元； (2)660元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． （1）设租用男装一天x元，租用女装需要y元，根据4套男装和6套女装租用一天共需租金460元，4套男装和10套女装租用一天共需租金660元列方程组求解即可； （2）根据（1）中所求的结果，按9折和8折优惠求出实际需支付租金即可． 【详解】（1）解：设租用1套男装一天x元，租用女装需要y元， 由题意得，， 解得：， 答：租用1套男装一天40元，租用女装需要50元； （2）解：根据题意得：（元）． 答：演出当天租用服装实际需支付租金为660元． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）项目化学习 项目主题：确定最省钱的租车方案． 项目背景：为传承启超文化，弘扬“少年强则国强”的理念，江门广雅中学计划在六月下旬组织本校优秀学生代表前往梁启超故居参观学习． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共485人． ②某出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决：利用以上数据完成下列问题． (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元． (2)学校本次研学准备租用该租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）问求出的方案中，应选择哪种方案，才能使租车费用最少，并说明理由． 【答案】(1)每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； (2)共有2种租车方案，方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； (3)方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，理由见详解 【分析】（1）设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车，根据租用的客车恰好可以乘载485 人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， ∴每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， 当时，则； 当时，则； ∴或， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车； 方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车； （3）解：方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，理由如下： 当租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车时， 此时租车费用为（元）， ∵ ∴应选择方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车，费用最少． ( 地 城 考点 10 二元一次方程组实际问题-行程问题 ) 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可； （2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． ( 地 城 考点 11 二元一次方程组实际问题-销售利润问题 ) 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部（必购进甲型号手机），请你研究一下商场的进货方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，分购进甲乙两种型号和甲丙两种型号，分别列出方程组进行求解即可． 【详解】解：①若购甲、乙两种型号．设购进甲型号手机部，乙型号手机部．根据题意，得 ， 解得 所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部． ②若购甲、丙两种型号．设购进甲型号手机部，丙型号手机部．根据题意，得     ，解得：． 所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部． 综上所述，商场共有两种进货方案：方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部． 2．（24-25七年级下·广东湛江·期中）某校计划为在校运会上表现突出的志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元，求钢笔和笔记本的单价． 【答案】钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“买10支钢笔和2本笔记本，需230元；买8支钢笔和4本笔记本，需220元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． (1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； (2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)小智的记录矛盾，理由见解答 (2)共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据“第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元”，可列出关于，的二元一次方程组，利用②①，可求出的值，结合实验耗材的单价不能为负，可得出小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下： 设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件， 根据题意得：， 解得：， 实验耗材的单价不能为负， 小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材； 方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材． 4．（24-25七年级下·广东江门·期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 5．（24-25七年级下·广东江门·期中）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：B款加料的奶茶买了11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得： ， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴； 答：B款加料的奶茶买了11杯． ( 地 城 考点 12 二元一次方程组实际问题-和差倍分问题 ) 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【答案】参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【分析】本题主要考查根据题意列二元一次方程解应用题的问题，解答本题的关键是根据题意得到题中的等量关系要解答此题． 首先应该理清题意，读懂题干，再根据题中所给信息进行解答即可得出答案．此题属于简单题，解答时需要细心． 【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解； 任务三：先根据“购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元．”列方程组，再代入求解． 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 3．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）为减少库存，某商店举行了促销优惠活动．打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品，总费用为141.6元． (1)求打折前A商品和B商品的单价； (2)若A商品和B商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 【答案】(1)商品的单价为9元，商品的单价为12元； (2)八折；35.4元的优惠． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论． 【详解】（1）解：设打折前商品的单价为元，商品的单价为元． 依题意，得，解得 故打折前商品的单价为9元，商品的单价为12元． （2）设该商店打折出售这两种商品． 依题意，得，解得． （元）． 故该商店打八折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠． ( 地 城 考点 13 二元一次方程组实际问题-古代问题 ) 1．（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合鸡的价格即可求出购买鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论． 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． ( 地 城 考点 14 二元一次方程组实际问题-其它问题 ) 1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 3 11 北京 4 28 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1) (2)小丽需要付元钱的快递费 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，解题的关键是根据题意列出方程组，求出的值． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ． （2）解：由（1）得，， 元， 答：小丽需要付元钱的快递费． 2．（24-25七年级下·广东珠海·期中）小雨、小锐和小新三名同学在学校附近的一家早餐店买早点，三人所买菜包，油条数量和付款如上图，小新结账后匆匆赶往学校上早读，放学后小新感觉自己的钱数不对，请你运用二元一次方程组求菜包、油条的单价，并判断小新购买早点的付款数是否有误． 菜包 油条 付款数/元 合计/元 小雨 3 2 9 小锐 2 3 小新 2 2 8 【答案】菜包，油条的单价分别为2元，1.5元，小新购买早点的付款有误，多付了1元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设菜包每个x元，油条每根y元，根据3个菜包和2根油条共9元，2个菜包和3根油条共元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设菜包每个x元，油条每根y元． 依题意得：， 解得： 按这个价可得小新应付款（元）， ∵， ∴多付了 (元)， 故菜包，油条的单价分别为2元，元，小新购买早点的付款有误，多付了1元． 3．（24-25七年级下·广东江门·期中）一种蜂王精分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装100瓶，2大盒、3小盒共装70瓶．求大、小包装盒每盒各装多少瓶? 【答案】大盒每盒装20瓶，小盒每盒装10瓶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，根据“3大盒、4小盒共装100瓶，2大盒、3小盒共装70瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装10瓶． 4．（24-25八年级下·广东茂名·月考）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 5．（24-25七年级下·广东中山·期中）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） (1)若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； (2)若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； (3)测量小球的质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 【答案】(1) (2) (3)20克 【分析】本题主要考查二元一次方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“左盘物体质量右盘物体质量”进行计算即可得出结论； （2）根据题意得，结合m，n为整数可求出m，n的值，即可得出的值； （3）设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克，根据右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体n，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体n，发现点P移动到时，天平平衡可列出方程组，求出方程组的解即可 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：3； （2）解：根据题意得，， ， ∵m，n为整数， ∴，， ∴； （3）解：设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克， 化简得： 解得： 答：一个小球的质量为20克. ( 地 城 考点 15 三元一次方程组问题 ) 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟知解二元一次方程组和解三元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，则， 把④代入②得：，解得， 把代入④得：， 把，代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 2．（24-25七年级下·广东惠州·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，对于三个方程的系数都相等的三元一次方程组，可以先将这三个方程相加，用化简后的方程分别减去原方程组中的三个方程即可求解．把这三个方程相加后，分别减去每一个方程则可求解． 【详解】解：，得， ∴，④ ，得， ，得， ，得， ∴原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06 二元一次方程组 ☆15大高频考点概览 考点01二元一次方的概念和解 考点02二元一次方程组的概念和解 考点03列仿程 考点04代入消元法和加减消元法 考点05特殊解法 考点06错解复原问题 考点07构造二元一次方程组求解 考点08同解问题 考点09二元一次方程组实际问题-方案问题 考点10二元一次方程组实际问题-行程问题 考点11二元一次方程组实际问题-销售利润问题 考点12二元一次方程组实际问题-和差倍分问题 考点13二元一次方程组实际问题-古代问题 考点14二元一次方程组实际问题-几何图形问题 考点15三元一次方程组问题 目目 考点01 二元一次方程的概念和解 1.(24-25七年级下·广东肇庆期中)下列四个方程中，是二元一次方程的是() A.x+y=z B.3xy=6 c.+-3 D.x-y=2 x V 2.(24-25七年级下.广东广州期中)已知方程(m+)x+2ym=0是关于x,y的二元一次方程，则m的值 是() A.1 B.0 C.-1 D.1或-1 3.(24-25七年级下·广东湛江期中)在下列方程中，是二元一次方程的是() A.2x-5=6 B.x+y=2 C.2x+3y-z=12 D.3x2+y=0 4.(24-25七年级下·广东广州期中)下列四组数中，是二元一次方程2x+y=4的解的是() x=-1 x=2 x=0.5 [x=-2 AU=2 B. C D. y=-1 y=3 y=-4 5.(24-25七年级下广东广州期中)下列各对x,y的值中，()不是方程3x+4y=5的解. 1/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 x=1 x=0 3 x=-1 X=一 A. C 5 D. y=2 5 y= 4 y=0 6.(24-25七年级下·广东湛江期中)下列各组数中① x=2 ②x-2 (少2：@ x=1 y=2 =6是方程 4x+y=1的解的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 x=m 7.(24-25七年级下广东珠海期中)若 =2,是二元一次方程5x-3y=14的一个解，则m的值是（) A.1.6 B.2 C.3 D.4 =3是关于x和y的二元一次方程ax+y=1的解，则a的值是() x=1 8.(24-25七年级下广东江门期中)若 A.-3 B.2 C.-2 D.3 9.(24-25七年级下·广东广州期中)下列各组是二元一次方程x+3y=14的解的是() x=2 x=3 A. B. y=4 y=4 x=5 C. y=2 D. x=5 y=4 目目 考点02 二元一次方程组的概念和解 1. (24-25七年级下·广东珠海期中)下列方程组中是二元一次方程组的是() 2a+2b=10 x+y=5 x2=9 x+y=6 A. B. C D. 5b+4c=24 2x+3y=10 x+y=3 x2-y=4 2.(24-25七年级下·广东惠州期中)下列方程组中，属于二元一次方程组的是() A. x+y=5 x+y=2 39y=4 x+y=2 B. C D. x-y=2 y-z=2 y=2 x2-1=2 3.(24-25七年级下·广东汕头期中)下列方程组中，是二元一次方程组的是() [2x+y-y=1 2-5 x+ A. B y 3x-2y=3 5x+y=3 2/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3x=y-1 2x+y=7 D 15x-4z=7 3x+y=9 4.(24-25七年级下·广东江门期中)下列方程组中，是二元一次方程组的是() y=2x+1 x+y=3 x=2 5x-2=2 A. B C D 3x-4z=2 x2=2 y 1+y=4 x+y=5 5.(24-25八年级上广东佛山期末)下列方程组中，是二元一次方程组的是() [x-2y=4 x+y=5 x-y=1 2x+y=3 A. D. xy=6 1+1=5 x+3y=4 x+z=4 x v x=-1 6.(24-25七年级下·广东广州·期中)已知一个二元一次方程组的解是{ =-2'则这个方程组可以是() (2x=y x+y=-3 x+y=-3 x+y=-3 A. B. C D. y-x=-3 x-2y=1 x-y=-1 3x+y=-5 7.(24-25七年级下·广东江门期中)下列各组数是二元一次方程2x-y=5的解的是() x=-2 x=0 x=3 x=1 A. B C y=1 y=5 y=1 D. y=3 x=2 8.(24-25七年级下山西晋城月考)方程组 2x+y=■ x+y=3 的解为、 少=★，则。★”表示的数分别是() A.6,4 B.5,1 C.4,1 D.3,2 x+my=0 x=1 9.(24-25七年级下·广东清远期中)若关于x、y的方程组 的解为 2x+3y=8 y=，其中y的值被盖 住了，不过仍能求出m,则m的值为() B.月 C.1 4 D.4 x=2 10.(24-25七年级下·广东珠海期中)己知 是方程3x+2y=12的一组解，则m的值是() y=m A.4 B.3 C.2 D.1 11.(24-25七年级下·广东江门期中)己知关于x、y的方程组 2x+y=5k+4的解满足xy-5,则k的值 x+2y=k-1 为() 3/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A. B.2 C.3 D.5 目目 考点03 列方程 1.(24-25七年级下·广东汕头期中)已知 x=2k y=-3k 是二元一次方程2x-y=14的解，则k的值是() A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.(河南省郑州市管城回族区外国语学校2022-2023学年八年级数学上学期期末试卷)我国明代《算法统 宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按 照5尺计算)·”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折 后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为() x+5=y x+5=y x=y+5 「x+5=y -5= C D. 2x-5=y x-5= x-5=2y 2 3.(24-25七年级下·广东江门期中)地理老师介绍：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度 的5倍多1284千米.小东为了求出长江和黄河的长度，设长江长为x千米，黄河长为y千米，可列方程组 为() x-y=836 x-y=836 A. B. 6y-5x=1284 6x-5y=1284 x+y=836 x+y=836 D 6y-5x=1284 5x-6y=1284 4.(24-25七年级下·广东江门期中)有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛， 是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可 以盛酒y斛，则可列方程组() 5x+y=2 5x+y=3 A. B. x+y=3 x=5y+2 5x+y=3 C. 5x=y+3 D x+5y=2 x+5y=2 5.(24-25七年级下·广东广州期中)某服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批玩具礼盒，一个 玩具礼盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B,己知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B,现计划用136米这种 布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A,用y米布料做玩偶B,使得恰好配套， 4/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 则下列方程组正确的是() [2x+3y=136 A. B. x+y=136 x=2y 3x=2y 2x+3y=136 c.1 x+y=136 2x=3y D. 4x=3y 6.（24-25七年级下·广东东莞·期中)在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动.书法社和绘 画社开始招募新成员.起初，书法社的报名数比绘画社报名数的二还多5人；后来，绘画社有5人改报了书 4 法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的2倍.设起初报名书法社的为x人，报名绘画社的为y人， 则下面所列方程组正确的是() 3 3 Ix- A.3 4y=5 B 4s5 x+5=2(y-5) 2(x+5)=y-5 4y=5 3 3 C. D. 4=5 x+5=2(y-5) 2(x+5)=y-5 7.(24-25七年级下·广东珠海期中)《九重算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代 数学形成了完整的体系，其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八 两，问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊共值金10两；2头牛，5只羊共值金8两，问每头 牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是() 5x+2y=10 5x+2y=8 A. B 2x+5y=8 2x+5y=10 x+y=10 5x+2y=8 D. 2x+5y=8 x+y=10 目目 考点04 代入消元法和加减消元法 1.(24-25七年级下·广东江门期中)《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着 重要地位.其中有一个“酒分醇璃问题：务中听得语吟吟，亩道醇璃酒二盆.解酒一升醉三客，璃酒三升醉 一人.共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺。欲问高明能算士，几何璃酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒 分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19 位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为() 5/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 x+y=17 x+y=19 x+y=19 x+y=17 1 B 1 C 1 3x+3y=19 3x+3y=17 +3y=17 D 5x+3y=19 2.(24-25七年级下·广东中山期中)由3y-2x=4可以得到用含x的式子表示y为() 2 A.y=3+4 2x+4 B.y= 2 3 C.y=4-2 3 D.y=4-2x 3 3.(24-25七年级下·广东广州期中)己知2x-y=3,用x的代数式表示y正确的是() A.2x=y+3B.y=-2x+3 C.y=2x+3 D.y=2x-3 4.(24-25七年级下·广东江门期中)用代入法解方程组 3x-2y=8时，代入正确的是() 2x-y=5 A.3x-4x-10=0 B.3x-4x+5=8 C.3x-2(5-2x=8 D.3x-4x+10=8 5.(24-25七年级下·广东广州期中)用代入法解方程组 [2x-y=5 y=3-x 时，代入正确的是() A.2x-3+x=5 B.2x-3-x=5 C.2x+3+x=5 D.2x 3 x 5 6.(2425七年级下·广东东莞期中)二元一次方程组 x+y=3 2x=4的解是() x=2 x=2 x=2 x=2 A B C y=-1 y=5 y=-5 D. y=1 x+2y=6-3a 7.(24-25七年级下·广东广州期中)已知关于x,y的方程组 x-y=6a ，给出下列说法： ①当a=1时，方程组的解也是x+y=a+3的解； ②若2x+y=3,则a=-1: ③无论a取何值，x,y的值不可能互为相反数： ④x,y都为正整数解的有5对. 以上说法中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 x=2y-5 8.(24-25七年级下·广东广州期中)以方程组 4x+3y=2的解为坐标的点(x,川位于（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5x+2y=7① 9.(24-25七年级下·广东广州期中)解方程组 ，较简便的方法是( ) 12x+y=20② A.②×2-①，消x B.②×2+①，消xC.②×2-①，消yD.②×2+①， 消y x-3y=4 10.(2425七年级下广东广州期中)方程组{2x+3y=1的解是 11.(24-25七年级下·广东广州期中)对于两个整数a和b,定义一种新运算“△”，若a+b为偶数，则 a△b=3a-b;若a+b为奇数，则a△b=a+2b.若对整数m和n,有(4n-2)△(m-1)△m=-2,且 m△(2n+1)=6,则m的值为 ax+by=5 r+ay=2的解是 x=4 12.(24-25七年级下·广东江门期中)方程组 则a+b= x+3y=-1 13.(24-25七年级下·广东中山期中)方程组 2x-3y=7的解是 14.（24-25七年级下·广东中山期中)已知2x-y=6,且x、y互为相反数，则y= 15.（24-25七年级下广东东莞期中)已知3x-4=y,若用y的形式表示x,则x= 16.(24-25七年级下·广东江门期中)已知2x-y=5,用含y的代数式示x,则x= 17.(24-25七年级下·广东珠海期中)已知x-2y=4,用含y的代数式表示x为：x= [2x-y=5 18.(24-25七年级下·广东汕尾·期中)（用代入消元法）解方程组： 3x+2y=4 x-3y=11 19.(24-25七年级下·广东湛江期中)解下列方程组 3x+y=3 20.(23-24七年级下·广东珠海期中)解方程或方程组： (1)2(x-1)2=98; 「y=2x+1 ②)13x-y-1=0 21.(24-25七年级下.广东东莞期中)解方程 (1)(x-1=4: 「2x-y=3 ②13x-y=1 7/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(24-25七年级下广东中山期中)在平面直角坐标系中，己知点M(m+n-2,2m+3n-7),点N(5,2n). (I)若点M在第一象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，求m,n值； (2)若MN∥y轴，且MN=2,求点N的坐标. [2x-3y=3「2ax+3by=3 23.(24-25七年级下·广东中山期中)己知关于x,y的方程组 r+y=-和3x+2y-1n的解相同. (1)求a,b的值： (2)解关于m的方程：am+b)2=-18. x-2y=1 24.(23-24七年级下·广东广州期中)解方程组： 5x+2y=17 25.（24-25七年级下·广东广州期中)解下列方程（组）； 2x+y=7 02x-3y=3 (2)(x+1)2-16=0. 目目 考点05 特殊解法 3x+2y=7k-2 1.（24-25七年级下广东江门期中)若关于x,y的方程组 满足x+y=2,则k的值为() 2x+3y=6 6 B c. D.2 x+4y=4 2.(24-25七年级下·广东广州期中)若x,y满足方程组 2x-2y=13'则6x+4y的值为() A.17 B.9 C.21 D.34 x+2y=5 3.(24-25七年级下·广东东莞期中)已知二元一次方程组 2x+y=7则x+y的值为() A.2 B.4 C.5 D.6 ax+by=e 4.(24-25七年级下·广东珠海期中)若关于x,y的方程组 cx+dy= 的解是=3 则关于x,y的方程 y=-21 a(x-1)+b(y+1)=2e 组 c(x-1)+dy+1)=2f 的解是 8/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25七年级下·广东江门期中)阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计 了如下的题月. 4x+3y.6x-y=8 解方程组： 3 8 4x+3y+6x-y=11 6 2 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错、.如果把方程组中的 (4x+3y)看成一个整体，把(6x-y)看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题. m+”=8 38 设4x+3y=m,6x-y=n,则原方程组可化为 m+”=11 62 解关于m,n的方程组，得 m=18 n=16' 所以 4x+3y=18 6x-y=16 x=3 解方程组，得 y=2 (1)材料中运用的数学思想是 A.数形结合思想B.整体思想C.分类讨论思想D.类比思想 3a-1+2(b-2)=4 (2)运用上述方法，解方程组 43a-1-(b-2=75 (3)已知关于x,y的方程组 1y。的解为】，直接写出关于加，的方程组 a,(m+2)-3bn=G的 ax+bay=c, a2m+2)-3bn=c2 解 (4)对于有理数，y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运 算.已知3*5=15,4*7=28，求1*1的值 6.（24-25七年级下·广东江门期中)阅读列一段材料，运用相关知识解决问题. 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元 法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化， 9/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 11=12 一十一 x y 换元的实质是转化，关键是构造元和设元.例如解方程组 2.1 ,设m= 则原方程组可转 =20 x y m+n=12 化为 运用以上知识解决下列问题： 2m+n=20' +2=2 x y (1)解方程组 32=4 十 x y 3x+5y=11 x=2 (2)关于x,y的二元一次方程组 ar+1y=12解为 [3(x-2)+50y+1)=11 y=1 求方程组 a(x-2)+110y+1)=12的解。 7.(24-25七年级下·广东广州期中)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ar+by,x⑧y=ax-by,其中 a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ，b= (2)若x*2y+x⑧y=10,求r-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 x⑧y=5m 的解也满足方程x-y=9,求m的值； (4)若关于x,y的方程组 a,x*by=G的解为y x=12 4a,(x+y月*5h,(x-月=G的 a2x⑧b2y=c2 =5,则关于，y的方程组 4a2x+y)⑧5b2x-y)=c2 解为 3(2x+y)-2(x-2y)=26 8.(24-25七年级下·广东珠海期中)解方程组 2(2x++3x-2=13,若设2x+y=mx-2y=n,则 3m-2n=26 m=8 2x+y=8 x=3 原方程组化为 2m+3n=13,解得 n-1'所以 -2y=-1解得 =2，我们把菜个式子看成一个整体， 用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法. ax+by=6 =4，则关于m,”的二元一次方程组 x=-2 ()关于y的二元一次方程组 (br+ay=3的解为 a(m+n+b(m-n)=6 b(m+川)+am-n=3,其中m+n= ,1m-n= 解得n= N= 10/22