习题28.2 解直角三角形及其应用（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦解直角三角形及应用，涵盖已知边或角求元素、实际问题解决等核心知识点。课堂导入可从复习三角函数定义与勾股定理切入，通过基础题（如已知c和∠A解直角三角形）到综合题（不同条件下的解题步骤）再到拓展题（航海触礁问题），构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合厂房屋顶、过街天桥等现实情境设计问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过规范解题步骤（如第6题分步骤解直角三角形）提升数学思维的推理能力，用符号公式表达过程强化数学语言应用。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助分层练习素材优化教学效果。

九（下）数学教材习题 习题 28.2 人 教 版 1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件解直角三角形： （1）c = 8，∠A = 30°； （2）b = 7，∠A = 15°； （3）a = 5，b = 12. 解:（1）∠B = 60°，a = 4，b = 4 ； （2）∠B = 75°，a ≈ 1.9，c ≈ 7.2； （3）c = 13，∠A ≈ 22.62°，∠B ≈ 67.38°. 复习巩固 2．如图，厂房屋顶的人字架 (等腰三角形) 的跨度 BC = 10 m，∠B = 36°，求中柱 AD (D 为底边中点) 和上弦 AB 的长 (结果保留小数点后一位). 解：∵ BC = 10 m，D 为底边中点， ∴ BD = 5 m，AD⊥BC. 在 Rt△ABD 中，∠B = 36°， ∴ AD = BD·tanB = 5tan36° ≈ 3.6 (m)， AB = = ≈ 6.2 (m). 复习巩固 3．如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC = 1200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 α = 16°31′．求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）． 解：由题意知∠B = α = 16°31′， 在 Rt△ABD 中，AC = 1200 m， ∴ AB = = ≈ 4221 (m). 答：飞机 A 与指挥台 B 的距离约为 4221 m. 复习巩固 4．从高出海平面 55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 21°，此时帆船距灯塔多远（结果取整数）？ 解：如图，由题意知∠B =∠BAD = 21°，AC = 55 m. 在 Rt△ABC 中，BC = = ≈ 143（m）． 答：此时帆船距灯塔约 143 m. 复习巩固 5. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 5.5 m. 测得斜坡的倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离 （结果保留小数点后一位）． 解：如图，由题意得 AC = 5.5 m，∠A = 24°，则 AB = AC÷cosA = 5.5÷cos24° ≈ 6.0 (m)． 答：相邻两树间的坡面距离约为 6.0 m． 复习巩固 6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）已知∠A，c，写出解 Rt△ABC 的过程； 解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 a = c·sinA，b = c·cosA． 综合运用 6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （2）已知∠A，a，写出解 Rt△ABC 的过程； 解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 c = ，b = 综合运用 6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （3）已知 a，c，写出解 Rt△ABC 的过程. 解：由勾股定理，得 b = . 由锐角三角函数的定义，得 sinA = . 求得∠A 的度数之后，由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° -∠A. 综合运用 7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为 130 m 的正方形，且每一个侧面与地面成 65° 角，这座金字 塔原来有多高 (结果取整数)？ 解： ×130 tan65° ≈ 139 (m). 答：这座金字塔原来约有 139 m 高. 综合运用 8．如图，一枚运载火箭从地面 L 处发射. 当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达站测得 AR 的距离是 6 km，仰角为 43°；1 s 后火箭到达 B 点，此时测得仰角为 45.54°. 这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是 多少 (结果取小数点后两位)? 解：在 Rt△ALR 中，AL = 6×sin43°，LR = 6×cos43°. 综合运用 在 Rt△BLR 中，BL = LR · tan45.54° = 6×cos43°· tan45.54°. ∴ AB = BL - AL = 6×cos43°· tan45.54° - 6×sin43° ≈ 0.38 (km). 0.38÷1 = 0.38 (km/s). 答：这枚火箭从 A 到 B 的平均 速度是 0.38 km/s. 综合运用 9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）. 解：如图，在 Rt△ABC 中，BC : AC = 1 : 1.5， ∴ AC = 1.5 BC = 1.5×5 = 7.5 (m). 由勾股定理 C 综合运用 9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）. C 得 AB = = ≈ 9 (m). 答：斜坡 AB 的长度约为 9 m. 综合运用 10. 海中有一小岛 P，在以 P 为圆心、半径为 16 n mile 的圆形海域内有暗礁. 一轮船自西向东航行，它在 A 处时测得小岛 P 位于北偏东 60° 的方向上，且 A、P 之间的距离为 32 n mile. 若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自 A 处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？ 拓广探索 解：如图，过 P 作 PB⊥AM 于 B， 在 Rt△APB 中，∵∠PAB = 30°， ∴ PB = AP = ×32 = 16 (n mile). ∵16＜16 ，∴ 轮船有触礁危险． 为了安全，应改变航行方向，并且保证点 P 到航线的距离不小于暗礁的半径 16 n mile，即这个距离至少为 16 n mile. 拓广探索 设安全航向为 AC，作 PD⊥AC 于点 D. 由题意得 AP = 32 n mile，PD = 16 n mile. ∵ sin∠PAC = = = ， ∴∠PAC = 45°. ∴∠BAC =∠PAC -∠PAB = 45° - 30° = 15°． 答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自 A 处开始沿南偏东 75° 度方向航行才能安全通过这一海域． 拓广探索 11．根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取整数）.（提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积.） 解：如图，作 C 点⊥AN于 D，交 BM 于 E. ∵ AN∥BM， ∴ CE⊥BM. 拓广探索 在 Rt△ADC 中，AC = 1700，∠CAD = 62°， ∴ CD = 1700×sin62° ≈ 1501.0， AD = 1700×cos62° ≈ 798.1. 在 Rt△BEC 中，BC = 2720，∠CBE = 54°， ∴ CE = 2720×sin54° ≈ 2200.5， BE = 2720×cos54° ≈ 1598.8. 拓广探索 ∴ S百慕大三角 = S梯形ABED - S△ACD - S△BCE = (798.1 + 1598.8)×(1501.0 + 2200.5) - ×1501.0×798.1 - ×2200.5×1598.8 ≈ 2078009（km2）． 答：百慕大三角的面积约为 2078009 km2． 拓广探索 $