复习题28 锐角三角函数（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的概念、计算、应用及拓展内容，通过复习巩固（基础定义与计算）、综合运用（实际问题与几何综合）、拓广探索（定理探究与规律发现）三层题目，构建从基础到综合再到拓展的知识网络。 其亮点在于采用分层设计，基础题巩固三角函数定义与计算（如特殊角求值），综合题结合几何与实际情境（如矩形折叠、灯塔仰角问题），拓广题引导探究正弦定理等规律，培养学生运算能力、推理意识和应用意识。这种设计让学生逐步提升，教师可精准把握学情，有效提升复习效率。

九（下）数学教材习题 复习题 28 人 教 版 1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 2，c = 6，求 sinA，cosA 和 tanA 的值． 解：由勾股定理得 b = = = 4 ， ∴ sinA = = = ，cosA = = = ， tanA = = = . 复习巩固 2．在△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，AC = 4 ，求 BC 的长． 解：由 cosA = ，得∠A = 30°. ∴ tan A = = . ∴ BC = AC = ×4 = 4. 复习巩固 3．求下列各式的值： （1） cos45° - tan45°； （2） sin60° + tan60° - 2cos230°． 解:（1）原式 = × - 1 = 1 - 1 = 0. （2）原式 = × + - 2× = + - = . 复习巩固 4．用计算器求下列各式的值： （1）cos76°39′ + sin17°52′； （2）sin57°18′ - tan22°30′； （3）tan83°6′ - cos4°59′； （4）tan12°30′ - sin15°. 解:（1）原式 ≈ 0.5377.（2）原式 ≈ 0.4273. （3）原式 ≈ 7.2673.（4）原式 ≈ -0.0371. 复习巩固 5．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A 的度数： （1）cosA = 0.7651； （2）sinA = 0.9343； （3）tanA = 35.26； （4）tanA = 0.707． 解:（1）∠A ≈ 40.08°. （2）∠A ≈ 69.12°. （3）∠A ≈ 88.38°. （4）∠A ≈ 35.26°. 复习巩固 6．等腰三角形的底角是 30°，腰长为 2 ，求它的周长． 解：由题意知该等腰三角形的底边长为 2×2 ×cos30° = 6，故其周长为 2×2 + 6 = 4 + 6. 复习巩固 7．从一艘船上测得海岸上高为 42 m 的灯塔顶部的仰角为 33° 时，船离海岸多远（结果取整数）？ 解： ≈ 65． 答：船离海岸约 65 m． 复习巩固 8．如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 32.6 m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 35°12′，测得 C 点的俯角 β 为 43°24′，求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）． 解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 BCDE 为矩形. 则 DE = BC = 32.6，CD = BE，∠ADE = 35°12′，∠ACB = 43°24′. E 综合运用 在 Rt△ABC 中，AB = BC·tan∠ACB = 32.6×tan43°24′ ≈ 30.8（m）. 在 Rt△ADE 中，AE = DE·tan∠ADE = 32.6×tan35°12′ ≈ 23.0（m）. ∴ CD = BE = AB - AE ≈ 30.8 - 23.0 = 7.8（m）. 答：两座建筑物的高度分别 约为 30.8 m 和 7.8 m． E 综合运用 9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC，BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）. E F 解：如图，在 Rt△ACE 中， AC = = ≈ 7.07 (m). 在 Rt△BDF 中，BD = = ≈ 5.77 (m)， 综合运用 9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC，BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）. ∴ BF = BD ≈ 2.89， ∴ AB = BE - AE = EF + BF - AE ≈ 3.40 + 2.89 - 5.00 = 1.29 (m)． 答：AC，BD 和 AB 的长度分别约为 7.07 m，5.77 m，1.29 m． E F 综合运用 10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°. 现有一架长 6 m 的梯子. （1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ 解：6sin75° ≈ 5.8（m）． 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约 5.8 m 高的墙. 综合运用 10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°. 现有一架长 6 m 的梯子. （2）当梯子底端离墙面 2.4 m 时，α 等于多少度（结果取整数）？此时人是否能够 安全使用这架梯子？ 解：令 cosα = 2.4÷6 = 0.4，则 α ≈ 66°，满足 50°≤α≤75°． 答：α 约等于 66°，此时人能够安全使用这架梯子. 综合运用 11．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 AE = 5 cm，且 tan∠EFC = . （1）△AFB 与△FEC 有什么关系？ 解：△AFB∽△FEC（两个角分别相等的两个三角形相似）. 综合运用 11．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 AE = 5 cm，且 tan∠EFC = . （2）求矩形 ABCD 的周长. 解：在 Rt△EFC 中，tan∠EFC = = . 设 CE = 3a，则 CF = 4a，EF = 5a. 由折叠可知 DE = EF = 5a. ∴ AB = CD = CE + DE = 8a. 由△AFB∽△FEC，得 = ， 综合运用 即 ，∴ AF = 10a. 在 Rt△AEF 中，AF2 + EF2 = AE2， ∴ (10a)2 + (5a)2 = (5 )2， 解得 a = 1． ∴ AD = AF = 10，AB = 8. ∴ 矩形 ABCD 的周长为 2×(10 + 8) = 36 (m). 综合运用 12．□ABCD 中，已知 AB，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出□ABCD 的面积 S 吗？如果能，用 AB，BC 及其夹角∠B 表示 S. 解：能求出□ABCD 的面积， 如图，作 AE⊥BC 于 E， 则 AE = AB•sinB． ∴ S = BC•AE = BC•AB sinB． 综合运用 13．已知圆的半径为 R. （1）求这个圆的内接正 n 边形的周长和面积； 解：周长为 2nRsin ，面积为 ． 拓广探索 13．已知圆的半径为 R. （2）利用（1）的结果填写下表： 观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎样的变化趋势？与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论？ 内接正 n 边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 … 周长 面积 6R 24Rsin15° 48Rsin7.5° R2 3R2 12R2sin15° 拓广探索 答：随着圆内接正多边形边数的增加，其周长和面积也在增大，并分别逐渐接近圆的周长 2πR 和面积 πR2． 拓广探索 14．如图，在锐角△ABC 中，探究 ， ， 之间的关系.（提示：分别作 AB 和 BC 边上的高.） D E 解：作△ABC 的高 AD 和 CE. 在 Rt△ACE 中，CE = AC•sin∠CAE = bsinA． 在 Rt△BCE 中，CE = BC•sin∠B = asinB． ∴ bsinA = asinB．∴ = ． 同理可得 = ，∴ = = ． 拓广探索 $