第28章 专题11 锐角三角函数中常用的3种解题方法[单元整合]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级下册锐角三角函数，围绕构造直角三角形、设参法、等角转化三种解题方法展开，通过衔接直角三角形基础知识，以作垂线、设参数、转化角为学习支架，帮助学生构建从基础到综合应用的知识脉络。 其亮点在于融合几何直观（如作垂线构造直角三角形解非直角三角形）、运算能力与推理意识（如设参数求tan值）、模型意识（如网格中转化角求三角函数），实例丰富且方法归纳清晰，能提升学生数学思维与解题能力，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章　锐角三角函数 专题11　锐角三角函数中常用的3种解题方法[单元整合] 类型一　构造直角三角形求解 题型一　含特殊角的非直角三角形 1. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°， BC＝4，则AC的长为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2. 如图，在△ABC中，BC＝ AC，∠BCA＝ 135°，求tanA的值. 解：如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点 D，则∠BCD＝180°－∠BCA＝45°. ∴BD＝CD＝ BC. 设AC＝k，则BC＝ k. ∴BD＝CD＝k，AD＝2k. ∴tanA＝ ＝ . 解：如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点 D，则∠BCD＝180°－∠BCA＝45°. ∴BD＝CD＝ BC. 设AC＝k，则BC＝ k. ∴BD＝CD＝k，AD＝2k. ∴tanA＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 3. 如图，在四边形ABCD中，tanA＝ ，∠B＝ 120°，∠C＝150°，AB＝4，CD＝ ，求BC 的长. 解：如图，延长AB与DC相交于点E. ∵∠ABC＝120°，∠BCD＝150°， ∴∠EBC＝60°，∠ECB＝30°. ∴∠E＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：如图，延长AB与DC相交于点E. ∵∠ABC＝120°，∠BCD＝150°， ∴∠EBC＝60°，∠ECB＝30°. ∴∠E＝90°. 设BE＝x，则CE＝ x. ∴DE＝ x＋ ，AE＝4＋x. ∵在Rt△ADE中，tanA＝ ＝ ， ∴ ＝ . 设BE＝x，则CE＝ x. ∴DE＝ x＋ ，AE＝4＋x. ∵在Rt△ADE中，tanA＝ ＝ ， ∴ ＝ . ∴x＝2.经检验，x＝2是该分式方程的解，且符合 题意. ∴BC＝2BE＝2x＝4. ∴x＝2.经检验，x＝2是该分式方程的解，且符合 题意. ∴BC＝2BE＝2x＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 方法归纳 作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊角(30°， 45°，60°)，如下展示部分常见构造方法： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 题型二　不含特殊角的非直角三角形 4. (1)【延长＋连线构造直角三角形】如图，在正方 形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则 ∠ACB的正切值为(　D　) A. 2 B. C. D. D 第4题(1)图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 第4题(2)图 (2)【作垂线构造直角三角形＋面积法】如图， △ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上， 则 sin ∠BAC的值为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 5. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝ . (1)求边AC的长； 解：(1)如图，过点A作AE⊥BC 于点E. 在Rt△ABE中， tan∠ABC＝ ＝ ，AB＝5， ∴AE＝3，BE＝4. ∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.在 Rt△AEC中，根据勾股定理得 AC＝ ＝ . 解：(1)如图，过点A作AE⊥BC 于点E. 在Rt△ABE中， tan∠ABC＝ ＝ ，AB＝5， ∴AE＝3，BE＝4. ∴CE＝BC－BE＝5－4＝1. 在Rt△AEC中，根据勾股定理得 AC＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求 的值. 解：(2)如图，作边BC的垂直平分线DF，交AB于 点D，交BC于点F，连接DC. 则BD＝CD，BF＝CF＝ . ∵tan∠DBF＝ ＝ ， ∴DF＝ . 解：(2)如图，作边BC的垂直平分线DF，交AB于 点D，交BC于点F，连接DC. 则BD＝CD，BF＝CF＝ . ∵tan∠DBF＝ ＝ ， ∴DF＝ . 5. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝ ＝ . ∴AD＝5－ ＝ . ∴ ＝ . 在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝ ＝ . ∴AD＝5－ ＝ . ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 类型二　设参法求解 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是 BC边上的中线.如果AD＝BC，那么tanB的值 是 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 7. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使 DC＝ BD，连接AC. 若tanB＝ ，求tan∠CAD 的值. 解：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于 点E，则∠CED＝90°. 又∵∠BAD＝90°， ∠ADB＝∠CDE， ∴△CDE∽△BDA. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ∵DC＝ BD， ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵tanB＝ ， ∴设AD＝5x，AB＝3x. ∴CE＝ x，DE＝ x. ∴AE＝ x. ∴tan∠CAD＝ ＝ . ∴CE＝ x，DE＝ x. ∴AE＝ x. ∴tan∠CAD＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 方法归纳 　　若已知两边的比值或一个锐角三角函数值求边 长时，一般可设参表示出相关线段的长，再消参解 决问题. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 类型三　利用等角转化求解[转化思想] 8. 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，AC＝ 8，BC＝6，则 cos ∠BCD的值是(　D　) A. B. C. D. 第8题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 9. 【作平行线转化＋连线构造直角】如图，在边长 相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这 些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则 tan∠APD的值为(　C　) A. B. C. 2 D. 2 第9题图 C 小贴士 在网格中作DC的平行线转化∠APD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. (1)【利用圆周角定理转换角】如图，在正方形 网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正 切值为 ⁠. 第10题(1)图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (2)【利用直径构造直角三角形】如图，在半径为3 的☉O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接 AC，BD. 若AC＝2，则 sin D＝ ⁠. 第10题(2)图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (3)【利用垂径定理构造直角三角形】如图，☉O为 △ABC的外接圆，☉O的半径为5，BC＝8，则 cos A的值为 ⁠. 第10题(3)图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ， E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落 在点F处，连接CF，求 cos ∠ECF的值. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°. ∵E是BC的中点，BC＝2 ， ∴BE＝CE＝ BC＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ∴AE＝ ＝ ＝3. 由翻折的性质得∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝ ， ∴EF＝CE. ∴∠EFC＝∠ECF. ∵∠BEF＝∠EFC＋∠ECF， ∴∠AEB＝∠ECF. ∴ cos ∠ECF＝ cos ∠AEB＝ ＝ . ∴∠EFC＝∠ECF. ∵∠BEF＝∠EFC＋∠ECF， ∴∠AEB＝∠ECF. ∴ cos ∠ECF＝ cos ∠AEB＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 $