28.1 第3课时 特殊角的三角函数值（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“特殊角的三角函数值”，通过复习三角函数定义衔接互余角关系，借助三角尺模型合作探究30°、45°、60°角的三角函数值推导，构建从定义到推导再到应用的学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过设边长推导值、表格归纳规律，结合例3判断三角形形状等典例培养数学思维，用符号表达和实例应用提升数学语言能力，帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

新知一览 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 第3课时 特殊角的三角函数值 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 复习引入 A B C ∠A 的邻边 ∠A 的 对 边 斜边 ∠A 的对边 斜边 sin A = ∠A 的邻边 斜边 cos A = ∠A 的对边 ∠A 的邻边 tan A = 导入新课 互余的两角之间的三角函数值之间的关系： 若∠A +∠B = 90°，则 sinA cosB，cosA sinB， tanA · tanB = . = = 1 30°、45°、60° 角的三角函数值 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 合作探究 30° 60° 45° 45° 新课讲授 如图，设 30° 角所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a， 另一条直角边长为 ∴ 30° 60° 如图，设两条直角边长为 a，则斜边长为 ∴ 45° 45° 30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如右表． 锐角 α 三角 函数值 30° 45° 60° sin α cos α tan α 归纳： 1 例 1 求下列各式的值： 提示：cos260° 表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°). 解：cos260° + sin260° 典例精析 (1) cos260° + sin260°； (2) 解： 练一练 计算： (1) sin30° + cos45°； 解：原式 = (2) sin230° + cos230°－tan45°. 解：原式 = 通过三角函数值求角度 A B C 例 2 (1) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = ， BC = ，求∠A 的度数； ∴∠A = 45°. 解：∵ A B O ∴ α = 60°. 解：∵ tanα = ， (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数. 求满足下列条件的锐角 α . 练一练 (1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0. 解：(1) sinα = ， ∴ α = 60°. (2) tanα =1， ∴ α = 45°. 例 3 已知 △ABC 中的∠A 与锐角∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0， ∴ tanA＝1，sinB＝ ∴∠A＝45°，锐角∠B＝60°． ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°． ∴△ABC 是锐角三角形． 练一练 1. 已知 △ABC 中的锐角∠A 和∠B 满足 | tanB－ | ＋ (2sinA－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数. 解：∵ | tanB－ | ＋ (2sinA－ )2＝0， ∴ tanB＝ ，sinA＝ ． ∴∠B＝60°，∠A＝60°. 2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一 个根，求 2sin2α + cos2α － tan(α + 15°) 的值． 解：解方程 x2 + 2x－3 = 0，得 x1 = 1，x2 =－3. ∴ 2sin2α + cos2α － tan (α + 15°) = 2sin245° + cos245°－ tan60° ∵ α 为锐角，tanα＞0，∴ tanα = 1. ∴ α = 45°. 1. tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° D A. cosA = B. cosA = C. tanA = 1 D. tanA = 2. 已知∠A 为锐角，sinA = ，则下面正确的是 ( ) B 当堂练习 3. 在 △ABC 中，若 ，则 ∠C = °. 120 4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径 画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交 于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为 . O A B C _____ 5. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45° + 2sin60°； (3) ； (4) 答案：(1) (2) (3) 2 (4) 6. 如图，在△ABC 中，∠A = 30°， ， 求 AB 的长度. A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵∠A = 30°， ， ∴ 21 ∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5. A B C D 22 30°、45°、60° 角的三角函数值 根据特殊三角函数值求角度 特殊角的 三角函数值 课堂小结 $