28.2.2 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中“利用方向角、坡度解直角三角形”，通过复习方向角定义及图形示例导入，结合海轮航行、渔船触礁等典例与练习，衔接锐角三角函数与解直角三角形知识，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以实际情境问题为载体，通过作辅助线转化直角三角形，培养数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（推理计算）、数学语言（模型表达）。如例2渔船触礁问题，用三角函数求最短距离，提升学生应用意识，教师可直接使用案例与练习，提高教学效率。

锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 新知一览 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 28.2.2 应用举例 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 复习引入 导入新课 解与方向角有关的问题 典例精析 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 新课讲授 解：如图，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 65° 34° P B C A 5 例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续 向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则 AF 的长是 A 到 BC 上所有 点中的最短距离. 北 东 A C B 60° 30° D E F ∵ BD∥CE∥AF， ∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． 如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为 圆心，100 km 为半径的圆形区 域内，请问：计划修筑的这条 高速公路会不会穿越保护区(参 考数据： ≈1.732， ≈1.414)？ 练一练 200 km 200 km 解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km. C 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°． ∵ AC＋BC＝AB， ∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200， 答：计划修筑的这条高速公路不 会穿越保护区． 解与坡度有关的问题 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ A B C 观察与思考 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ α l h i = h∶l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =____度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 练一练 例 3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的 坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？ i = 1:2 典例精析 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°， AC = 240 m， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升 了约 107.3 m. 从而 BC ≈ 240 sin26.57° ≈ 107.3 (m)． 因此 例 4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求： (1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)； A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4， 由计算器可求得 α ≈ 22°. 故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. 解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F. 在 Rt△ABE 中， (2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m). E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m. = 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在 Rt△DCF 中， 故坝底 AD 的长度为 132.5 m，斜坡 AB 的 长度为 72.7 m. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 30°．请求出点 B 和点 C 的水平距离． 练一练 A C B D 30° 答案：点 B 和点 C 的水平距离为 米. 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 9 m B. 6 m C. m D. m A C B B 当堂练习 2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛 的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角 ∠ACB 等于 °． 90 3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行， 在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上．航行半 小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30° 方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的 位置所需的时间是 . 15 分钟 4. 如图，海上 B，C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北 方向，一艘船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向 正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43° 方向，则 A，B 两岛之间的距离为 ． (结果精确到 0.1 海里，参考数据： sin43° = 0.68，cos43° = 0.73， tan43° = 0.93) 33.5 海里 解：如图，作DE⊥AB 于 E， CF⊥AB 于 F． 45° 30° 4 米 12 米 A B C D 5. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基左右两边坡面的坡角分别是 45° 和 30°，求 路基下底的宽 (精确到 0.01 米， ， ).   在 Rt△ADE 中， E F 由题意知 DE＝CF＝ 4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 24 在 Rt△BCF 中，同理可得 (米). (米). ∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 = 22.93 (米)． 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． 6. 如图，有一个古建筑 A，它周围 800 米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在 D 点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？ E 解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E. ∵ 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上， 在点 D 的北偏东 30° 方向上， ∴ ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°. ∴∠BAD =∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE. ∴ AD = BD = 1200 米. ∴ AE = AD·sin60° = 1200× ≈ 1039.2＞800（米）. ∴ 不会遭到破坏. 解直角三角形的应用 坡度问题 方向角问题 坡角 坡度(或坡比) 课堂小结 $