28.1 第2课时 余弦函数和正切函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的余弦函数和正切函数，通过“锐角A确定时其他边比是否确定”的问题导入，承接正弦函数学习，引导学生经合作探究（相似三角形证明比值为常数）构建概念，形成三角函数知识体系。 其亮点是以合作探究为核心，通过相似三角形推理证明余弦、正切比值为常数，培养推理能力（数学思维）；结合典例精析与分层练习（如构造直角三角形求cosB、tanB），发展几何直观与抽象能力（数学眼光）；用符号公式精准表达概念，强化模型意识（数学语言）。小结明确概念性质，助学生理解本质，教师可借系统设计提升教学效率。

新知一览 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 第2课时 余弦函数和正切函数 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 问题引入 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 导入新课 余弦 合作探究 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？ 为什么？ A B C D E F 新课讲授 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°， ∴ ∠B =∠E． 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 归纳： A B C 斜边 邻边 ∠A 的邻边 斜边 cosA = 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cosα = sin(90°－α)． 从而有 sinα = cos(90°－α)． 练一练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， 则 cosA＝ . 2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α 为 其最小的锐角，求 α 的正弦值和余弦值． cosα = ∴ sinα = 解：由题意设斜边为 7x，则该直角边为 5x，另一直角边为 ＜5x， 合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？ 为什么？ A B C D E F 正切 ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. ∠A =∠D ，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ A B C D E F 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 归纳： 　　如下图，在直角三角形 ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA， 即 A B C 邻边 对边 　 锐角 A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. ∠A 的对边 ∠A 的邻边 tanA = 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 想一想： 互为倒数. 3. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值 为_____. 练一练 α 4. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 相切与点 C，若 BC = 4，AB = 5，则 tanA =___. · A O B C 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，求 sinA，cosA，tanA 的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 ， ∴ 典例精析 锐角三角函数 5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA =______，cosA =______，tanA =____， sinB =______，cosB =______，tanB =____. 练一练 A B C 12 13 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3. sinA =_______，cosA =_______，tanA =_____， sinB =_______，cosB =_______，tanB =_____. 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值 B C 2 3 A A B C 6 例 2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，sinA = ，求 cosA，tanB 的值． 解：在 Rt△ABC 中，∵ 又∵ ∴ 在直角三角形中，如果已知一 边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他所有 锐角的三角函数值 A B C 8 解：∵ 练一练 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA = ， 求 sinA，cosA 的值． ∴ ∴ ∴ 2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，且 sinA = ，则下列 结论正确的是 （ ） A. cosA = B. tanA = C. cosA = D. tanA = D 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( ) A. B. C. D. A A B C 当堂练习 2. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°. 故选 D. D 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，求 sinA，tanA 的值． 解：在 Rt△ABC 中，由 A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k. ∴ ∴ 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂 足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ CD⊥AB，∠ACB =∠ADC = 90°， ∴∠B +∠A = 90°， ∠ACD +∠A = 90°． ∴∠B = ∠ACD． ∴ tan∠B = tan∠ACD = 提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以作辅助线构造直角三角形. 5. 如图，在△ABC中，AB = AC = 4，BC = 6. 求 cosB 及 tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ AB = AC，BC = 6， ∴ BD = CD = 3． 在 Rt△ABD 中， ∴ tanB = A B C ∴ D 余弦函数和 正切函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 锐角∠A 的大小确定的情况下，cosA，tanA 为定值，与直角三角形的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质 课堂小结 $