28.1 第1课时 正弦函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的正弦函数，通过比萨斜塔倾斜角、山坡铺水管等生活情境导入，引导学生从具体问题出发，经30°、45°角探究及相似三角形推理，抽象出正弦函数定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过合作探究与相似推理发展数学思维，结合坐标、网格等实例强化数学语言表达。如用比萨斜塔问题激发观察兴趣，用相似证明体现逻辑推理，助力学生理解概念本质，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

新知一览 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 正弦函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 情景引入 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？ 导入新课 A B C “斜而未倒” BC = 5.2 m AB = 54.5 m α 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？ 情境引入 30° 导入新课 已知直角三角形的边长求正弦值 从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35 m ? 合作探究 新课讲授 A B C 30° 35 m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB. 根据“直角三角形中30°角所对的 边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的 对边与斜边的比都等于 . 归纳： 在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC， 由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2， 思考1： 所以 ， 因此 在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 归纳： 当∠A 是直角三角形中一个大小确定的任意的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 思考2： 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 归纳： 12 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 例如，当∠A＝30° 时，我们有 当∠A＝45° 时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： ∠A的对边 斜边 sin A = 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和 sinB 的值. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 典例精析 解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ sinA = ( ) sinA = ( ) 1. 如图，判断对错： A 10 m 6 m B C √ × 练一练 sinB = ( ) × sinA = 0.6 ( ) sinB = 0.8 ( ) √ √ 2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA 的值为 ( ) A. B. C. D. C 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. 练一练 D 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 解：∵∠C = 90°， ，∴ ， ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6， 那么 BC =_____. 2 练一练 例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长． 解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm. 即 24x = 24，解得 x = 1. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. ∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定扩大还是缩小 B 2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sinA 的值为( ) 7 A C B 3 A. B. C. D. A 当堂练习 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，∴ AB2＝BC2＋AC2． ∴ ∠ACB＝90°． ∴ sin∠ABC＝ 4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0) 在 ⊙A 上， BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =_____. 解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中求出sin∠OCD 的值即可． O x y A C B D 5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sinA = ， ∴ 又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6， ∴ S△ABC = AC·BD÷2 = 12. 29 解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A． 6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以用哪两条线段之比表示? A C B D ∴ (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解： 由 (1) 知， 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 当堂练习 $