28.2.2 第2课时 利用仰、俯角解直角三角形（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“利用仰、俯角解直角三角形”，从锐角三角函数定义导入，通过基础题（如仰俯角关系判断）搭建支架，衔接解直角三角形基本方法与实际测量应用，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以现实情境为载体，如无人机测旗杆、人脸识别系统、探月工程等案例，培养数学眼光观察现实问题。通过规范解题步骤（设未知数、三角函数推理）发展数学思维，用数学模型表达实际问题提升数学语言能力。学生能增强应用意识，教师可依托丰富情境素材提升教学效果。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章　锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第2课时　利用仰、俯角解直角三角形 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点　解与仰、俯角有关的问题 1. (2025·唐山期末)嘉嘉在楼下点A处观察楼上点B 处的仰角是70°，则点B处的淇淇看点 A处的嘉嘉的俯角等于(　C　) A. 20° B. 50° C. 70° D. 90° 第1题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. (2025·北京西城区月考)数学兴趣小组利用无人机 测量学校旗杆的高度，已知无人机的飞行高度为37 米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗 杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度为(　B　) A. 15 米 B. (37－15 )米 C. (45－15 )米 D. 22.5米 第2题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 某市举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事. 如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一 宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的 水平距离BC为20m，且距地面高度AB为1.5m，则 气球顶部离地面的高度EC约是 m(结果精确 到0.1m， sin 21.8°≈0.3714， cos21.8°≈0.9285， tan21.8°≈0.4000). 9.5　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 如图，甲、乙两楼之间的距离为30m，从甲楼楼 顶观测乙楼顶部的仰角α为30°，观测乙楼底部的俯 角β为45°，则乙楼的高h≈ m(结果保留整 数， ≈1.73， ≈1.41). 47　 第4题图 2 3 4 5 6 7 8 9 1 第5题图 5. 如图，点O是摩天轮的圆心，最高点A到地面的 距离是160m，AB是其垂直于地面的直径，小贤在 地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰 角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的 半径为 m(结果保留根号). (160－ )　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. (2025·遂宁中考)如图，在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan50°≈1.19) 解：如图，连接DE并延长，交CF于点G， ∴DG⊥CF. ∵DA⊥AF，BE⊥AF， CF⊥AF， ∴四边形DEBA和四边形 EGFB是矩形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m. 设CG＝xm，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ＝ ， ∴EG＝ ≈ m. ∴DG＝DE＋EG＝(30＋ )m. 在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα＝ ， ∴ ≈0.75，解得x≈60.85. ∴CF＝CG＋GF＝60.85＋1.6＝62.45≈62.5(m). ∴DG＝DE＋EG＝(30＋ )m. 在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα＝ ， ∴ ≈0.75，解得x≈60.85. ∴CF＝CG＋GF＝60.85＋1.6＝62.45≈62.5(m). 答：摩天轮CF的高度约为62.5m. 答：摩天轮CF的高度约为62.5m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m(精确到1m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75). 17　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 新情境人脸识别如图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图②，摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP＝160cm，识别的最远水平距离OQ＝150cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)小张站在离摄像头水平距离90cm的点M处，恰 好能被识别(头的顶部恰好在仰角线AP处)，请问小 张的身高约为多少厘米？ 解：(1)如图，过M作OQ的垂线分别交PA，PB于 点E，D，交水平线于点F，由题意知∠POQ＝ ∠OPF＝∠FMO＝90°， ∴四边形POMF是矩形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴PF＝OM＝90cm，MF＝OP＝160cm. 在Rt△PEF中，tan∠EPF＝ ， ∴EF＝PF·tan15°＝90×tan15°≈24.3(cm). ∴ME＝MF＋EF＝160＋24.3＝184.3(cm). ∴小张的身高约为184.3cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)身高139cm的小军，头部高度为18cm，当他直立 站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小 军能否被摄像头识别.(参考数据： sin 15°≈0.26， cos 15°≈0.97，tan15°≈0.27) 解：(2)如图，过Q作OQ的 垂线分别交PA，PB于点 C，G，交水平线于点H， 同上可知四边形 POQH是 矩形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)如图，过Q作OQ的垂线分别交PA，PB于 点C，G，交水平线于点H，同上可知四边形 POQH是矩形. ∴PH＝OQ＝150cm，QH＝OP＝160cm.在 Rt△PCH中，tan∠CPH＝ ， ∴CH＝PH·tan15°＝150×tan15°≈40.5(cm) .同理GH＝40.5cm. ∴GQ＝QH－GH＝119.5cm，CQ＝QH＋CH＝ 200.5cm. ∴PH＝OQ＝150cm，QH＝OP＝160cm. 在Rt△PCH中，tan∠CPH＝ ， ∴CH＝PH·tan15°＝150×tan15°≈40.5(cm) .同理GH＝40.5cm. ∴GQ＝QH－GH＝119.5cm， CQ＝QH＋CH＝ 200.5cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 小军头部以下的高度为139－18＝121(cm)＞ 119.5cm，且小军身高139cm＜200.5cm， ∴小军能被摄像头识别. 小军头部以下的高度为139－18＝121(cm)＞ 119.5cm，且小军身高139cm＜200.5cm， ∴小军能被摄像头识别. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看 到月亮，仰角为β，如图是示意图.已知淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E. (注：图中所有点均在同一平面) (1)求β的大小及tanα的值； 解：(1)由题意可得PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝ CD＝EQ＝1.6m， AE＝BQ＝4m，AC＝BD＝3m， ∴CE＝4－3＝1(m)，PE＝2.6－1.6＝1(m)， ∠CEP＝90°. 解：(1)由题意可得PQ⊥AE，PQ＝2.6m， AB＝ CD＝EQ＝1.6m， 2 3 4 5 6 7 8 9 1 AE＝BQ＝4m，AC＝BD＝3m， ∴CE＝4－3＝1(m)，PE＝2.6－1.6＝1(m)， ∠CEP＝90°. ∴CE＝PE，tanα＝tan∠PAE＝ ＝ . ∴β＝∠PCE＝45°. ∴CE＝PE，tanα＝tan∠PAE＝ ＝ . ∴β＝∠PCE＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)求CP的长及 sin ∠APC的值. 解：(2)∵CE＝PE＝1m， ∠CEP＝90°， ∴CP＝ ＝ (m). 如图，过C作CH⊥AP于 H， 9. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看 到月亮，仰角为β，如图是示意图.已知淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E. (注：图中所有点均在同一平面) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∵tanα＝tan∠PAE＝ ＝ ，设CH＝xm，则 AH＝4xm， ∴x2＋(4x)2＝AC2＝9. ∴x＝ (负值已舍去). ∴CH＝ m. ∴ sin ∠APC＝ ＝ ＝ . ∵tanα＝tan∠PAE＝ ＝ ，设CH＝xm，则 AH＝4xm， ∴x2＋(4x)2＝AC2＝9. ∴x＝ (负值已舍去). ∴CH＝ m. ∴ sin ∠APC＝ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $