28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦锐角三角函数和解直角三角形的简单应用，通过高跟鞋舒适度等生活情境导入，衔接三角函数定义与实际问题，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以生活（如缆车、秋千）和科技（如“神舟”九号）案例为载体，培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理运算）和数学语言（模型表达）。采用情境导入、合作探究、典例精析，小结四步解题法，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富案例和清晰教学思路。

锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 新知一览 第1课时 解直角三角形的简单应用 28.2.2 应用举例 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 情境引入 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”. 导入新课 美国某人体工程学研究人员调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 cm 左右的高跟鞋. 但专家认为穿 6 cm 以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为 15 cm，则鞋跟约在 3 cm 左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11° 左右时，人脚的感觉最舒适. 你知道专家是怎样计算的吗？ 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1. 解直角三角形 (1) 三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2. 解直角三角形的依据 (2) 两锐角之间的关系： ∠A＋∠ B＝90º； (3) 边角之间的关系： tanA＝ sinA＝ cosA＝ A C B a b c 利用解直角三角形解决简单实际问题 棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你知道缆车上升的垂直高度是多少吗? A B A B D 30° 200 m BD = ABsin30° = 100 m 合作探究 新课讲授 A B C 棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200 m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1 m/s， 棋棋需要多长时间才能 到达目的地？ A B D C E 60° 200 m 231÷1 = 231(s). 7 例 1 “神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现交会对接的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6400 km，π 取 3.142，结果取整数）？ O F P Q FQ 是☉O 的切线，∠FQO为直角 最远点 求 的长，要先求∠POQ 的度数 典例精析 O F P Q 解：设∠POQ = α．∵ FQ 是☉O 的切线，∴∠FOQ = 90°. 的长为 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据题目条件，解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 归纳： “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点 1000 里处的景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O 为地球球心，C 是地面上一点， = 500 km，地球的半径 为 6370 km，cos4.5° = 0.997)？ 练一练 · O C B A 解：设登到 B 处，视线 BC 在 C 点与地球相切，也就 是看 C 点，AB 就是“楼”的高度， ∴ AB = OB－OA = 6389－6370 = 19(km). 即这层楼高至少要 19000 m. 这样的楼房是不存在的. 在 Rt△OCB中，∠O · O C B A 例2 如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与 地面的最大距离为多少？ 0.5 m 3 m 60° 0.5 m 3 m A B C D E 60° 分析：根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度. 因此，本题可抽象为：已知 DE = 0.5 m，AD = AB = 3 m，∠CAB = 60°，∠ACB 为直角，求 CE 的长. 解：∵∠CAB = 60°，AD = AB = 3 m， 3 m A B D E 60° C ∴ AC = ABcos∠CAB = 1.5 m. ∴ CD = AD－AC = 1.5 m. ∴ CE = CD + DE = 2 m. 即秋千踏板与地面的最大距离为 2.0 m. 如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆. 拉线CE和地面成 60° 角，在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30°，已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求拉线 CE 的长. 练一练 G 解：作 AG⊥CD 于点 G， 则 AG = BD = 6 米，DG = AB = 1.5 米. ∴ (米). ∴ CD = CG + DG = ( + 1.5) (米). ∴ (米). G 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24 米，那么旗杆的高度约是 ( ) A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米 B 当堂练习 2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两 棵树 A，B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂 直于 AE 的方向走到 F，C 为 AE 上一点，其中 3 位 同学分别测得三组数据：①AC， ∠ACB；②EF，DE，AD；③CD， ∠ACB，∠ADB．其中能根据所测 数据求得 A，B 两树距离的有( ) A.0 组 B.1 组 C.2 组 D.3 组 D 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点 B 到树根部 C 的距离为 4 米，倒下部分 AB 与 地平面BC的夹角为45°，则这棵大树原高 米. A C B 4 米 45° 4. 如图，要测量点 B 到河岸 AD 的距离，在 A 点测得 ∠BAD = 30°，在 C 点测得∠BCD = 60°，又测得 AC = 100米，则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( ) B D C A A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米 B 5. (1) 小华去实验楼做实验，两幢实验楼的高度 AB = CD = 20 m，两楼间的距离 BC = 15 m，已知太阳光与水 平线的夹角为 30°，求南楼的影子在北楼上有多高； 北 A B D C 20 m 15 m E F 南 解：过点 E 作 EF⊥AB 于 F， 则 FE = BC = 15 m. 即南楼的影子在北楼上高 ∴ 22 (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光不受南楼的影响，那么楼间距 BC 长至少应为多少米? A B 20 m ?m 北 D C 南 答案：至少应为 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据题目条件解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 课堂小结 $