28.2.1 解直角三角形（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形及其应用”，通过复习直角三角形的三边关系、锐角关系及边角关系导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已知元素（至少含一边）求未知元素，构建解直角三角形的知识框架。 其亮点在于结合合作探究与分类讨论（如例4未给图形需分锐角、钝角三角形求解），培养学生几何直观与推理能力。通过作辅助线转化非直角三角形（如练一练中作高将△ABC分为两个直角三角形），发展数学思维，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

锐角三角函数 解直角三角形及其应用 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 余弦函数和正切函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 利用仰俯角解 直角三角形 解直角三角形的简单应用 应用举例 解直角三角形 正弦函数 利用方向角、坡度解直角三角形 新知一览 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） A C B c b a (1) 三边之间的关系：a2 + b2 =_____； (2) 锐角之间的关系： ∠A +∠B =_____； (3) 边角之间的关系：sinA =_____，cosA =_____， tanA =_____. 如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C = 90°. c2 90° 复习引入 导入新课 已知两边解直角三角形 在图中的 Rt△ABC 中， (1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 合作探究 A B C 6 75° 新课讲授 (2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. A B C 解： 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形. 7 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 30，b = 20，解此直角三角形. 解：根据勾股定理得 A B C b=20 a=30 c 练一练 8 已知一边及一锐角解直角三角形 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A B C b = 20 c a 35° 解： 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 72°，c = 14. 根据条件解直角三角形. A B C b a c = 14 解： 练一练 10 2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 提示：作 CD⊥AB 于点 D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD 和 Rt△CDB 中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而得解． 在 Rt△CDB 中，∠DCB =∠ACB－∠ACD = 45°， 解：如图，作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△ACD 中，∵∠A = 30°，∴∠ACD = 90° - ∠A = 60°. ∴ BD = CD = 2. D 已知一锐角三角函数值解直角三角形 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， BC = 5， 试求 AB 的长. A C B 解： 设 在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解. (舍去). 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB的长为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 D 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4， sinB = ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 C 练一练 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例 4 在△ABC 中，AB = ，AC = 13，cosB = ，求 BC 的长. 解：∵cosB = ，∴∠B = 45°. 当△ABC 为钝角三角形时，如图①. ∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5. ∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7. 图① 当△ABC 为锐角三角形时，如图②， 此时 BC = BD + CD = 12 + 5 = 17. 综上可知，BC 的长为 7 或 17. 图② 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是 ( ) D 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b = a·tanA B. b = c·sinA C. b = c·cosA D. a = c·cosA A C B  C 当堂练习 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32， 则 AC = (参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75). 4. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3， cosB = ，则 AC 的长为 . 24 3.75 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分 线 ，解这个直角三角形. 解： ∵ AD 平分∠BAC， D A B C 6 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2， ∴ CD = AD = sinC · AC = 2sin45° = . 在△ABD 中，∠B = 30°， ∴ BD = ∴ BC = CD + BD = 6. 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2， 求 BC 的长. D A B C 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 $