第26章 反比例函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件系统梳理了反比例函数的概念、图象性质、k的几何意义及应用，通过知识框架图将定义、三种解析式、双曲线特征、增减性、对称性等核心内容串联，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于结合实例培养数学眼光和模型意识，如药物含药量、材料加热等实际问题，通过考点例题与针对训练分层设计，提升推理能力和应用意识，助力学生巩固知识，教师精准把握学情提高复习效率。

小结与复习 第二十六章 反比例函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 1. 反比例函数的概念 定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称 为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数． 三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． 【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0. 要点梳理 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 . 双曲线 原点 y = x y=－x (2) 反比例函数的增减性 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ x y o x y o 一、三 二、四 减小 增大 (3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之 积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一 点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围 成的矩形的面积为 . 推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂 线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的 三角形的面积为 ． |k| 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数的解析式： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入 x、y 的一组对应值，或者该函数图象 上一个点的坐标，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点： 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标，就是求这两个解析式联立所得方程组的解. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题： 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 考点一 反比例函数的概念 例 1 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 考点讲练 8 1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3　　　B. －3　　　C. D. B 针对训练 2. 若 是反比例函数，则 a 的值为( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数 A 系数不为 0，x 的次数为-1 9 例2 已知点 A (1，y1)，B (2，y2)，C (－3，y3) 都在反 比例函数的 图象上，则 y1，y2，y3 的大小 关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 解析：可分别把各点代入函数解析式求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D　 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较． 针对训练 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 . y1＞0＞y2 例 3 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上， PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B， 则△POB 的面积为 . 1 考点三 反比例函数中 k 的几何意义的相关问题 S△POB=S△POA- S△BOA 【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上 一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14， 则 k 的值为 . -20 4 10 考点四 反比例函数的应用 例 4 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y = kx+b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时， 一次函数的值大于反比例函数的值? O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时符合题意. (2) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A (－4， )，B (－1，2) 代入 y = kx + b 中，得 －4k + b = ， －k + b = 2， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标. O B A x y C D P ∵ △PCA 和 △PDB 面积相等， ∴ AC·[t－(－4)] = BD·[ 2－( t + )]， 解得 t = . ∴ 点 P ( ， )． 解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，则点 P 到直线 AC 和 BD 的距离分别为 t－(－4)，2－( t + )． 方法总结：此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中求三角形或四边形面积时，需要选取合适的底边和高，将坐标转化为边长，从而算出图形的面积. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一 个交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在函数 y = 2x 的图象上， 令 y = 2，得 x = 1，即点 P (1，2). 把 P (1，2) 代入 中， 解得 P 2 (2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y = kx + b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △AOB 的面 积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k. O A y B x M l N 解得 x1 = 1，x2 = －3. ， y = kx+2k， ∴ ∴ A (1，3k)，B (－3，－k). ∵ △AOB 的面积为 ∴ ×2×3k + ×2k = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的值 小于反比例函数的值？ 解：当 x ＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反比例函数的值. O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 例 5 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例． 设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时 2 4 (2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 ， 即 解得 k = 8. O y/毫克 x/小时 2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效， 则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得 x≥1，∴1≤x≤2； 当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥2，解得 x ≤4. ∴ 2＜ x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有效时间 是1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时 2 4 如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系. 已知该材料在加热前的温度为 4 ℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃ 时停止加热，停止 加热后，材料温度逐渐下降，这时 温度 y 与时间 x 成反比例函数关系， 已知第 12 分钟时，材料温度是14 ℃． 针对训练 O y(℃) x(min) 12 4 14 28 (1) 写出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数 关系式（要求写出相应的 x 的取值范围）； 解： y = 4x + 4 (0≤x≤6)， (x＞6). O y(℃) x(min) 12 4 14 28 (2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解：当 y =12 时，12 = 4x + 4，解得 x = 2． 由 ，解得 x =14. 所以对该材料进行特殊处理 所用的时间为 14－2 = 12 (分钟)． O y(℃) x(min) 12 4 14 28 反比例函数 定义 图象和性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 课堂小结 见课本章末练习 课后作业 $