27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦相似三角形判定，核心内容包括两角分别相等的两个三角形相似及直角三角形相似的特殊判定（有一个锐角相等、斜边和一直角边成比例）。通过“制作三角纸板”情境引入，引导学生合作画图、度量比值、严谨证明，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架，衔接三角形内角和等旧知。 其亮点在于以情境问题激发探究欲，通过合作画图培养几何直观（数学眼光），借助严谨证明（如作辅助线证全等推导相似）和分类讨论（例4两种相似情况）发展推理能力（数学思维），结合圆中弦相交、直角三角形应用等实例强化模型意识（数学语言）。学生能提升探究与逻辑能力，教师可依托结构化资源高效教学。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 三边成比例的两个三角形相似 平行线分线段成比例 相似三角形的性质 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 优翼九下数学教学课件（RJ） 学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30° 的形状相同、大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 情境引入 ？ ？ ？ 导入新课 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似 合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题： 这两个三角形是相似的！ 新课讲授 55 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E， 则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′． ∵∠B =∠B′， ∴∠A′DE =∠B． 又∵ A′D = AB，∠A =∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC（ASA）． ∴△ABC∽△A′B′C′． C A A' B B' C' D E 问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′. 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵∠A =∠A'，∠B =∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C'. 符号语言： 归纳： C A B A' B' C' 在△ABC 和△A'B'C' 中， 证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°， ∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°． 在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°， ∴∠B =∠E，∠C =∠F． ∴△ABC∽△DEF． 例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF． A C B F E D 典例精析 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A = 50°， ∠B = 75°，∠A' = 50°，则当∠C' = ° 时，△ABC∽△A'B'C'. 练一练 C A B B' C' A' 55 例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD． 证明：连接 AC，DB． ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A = _______． 同理 ∠C = _______， ∴ △PAC ∽ △PDB. ∴__________， 即 PA · PB = PC · PD. ∠D ∠B O D C B A P 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA = 3， PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P 练一练 【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边可知，它们属于△BCP 和△ADP，因此连接 AD、BC，根据圆周角的性质得到相似三角形，进而根据对应边成比例求解． ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°. 判定两个直角三角形相似 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长． D A B C E ∴ 又∠C = 90°，∠A =∠A， ∴△AED ∽△ABC. 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似． 归纳： 对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = 90°， ∠C′ = 90°， ．求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 要得到两个三角形相似，需要证明 什么呢？ 目标：证 C A A' B B' C' 证明：设 = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′. 由 ，得 ， ∴ . ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 勾股定理 ∴ C A A' B B' C' __________ ________________ 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳： 例 4 如图，已知∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB = 时，△ABC 与 △ACD 相似． 【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论． C A B D 2 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， AC : AD = AB : AC， 即 : 2 =AB : ， 解得 AB = 3； ∴ (2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时， AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ， 解得 AB = ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． C A B D 2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： . 练一练 是 是 是 两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 直角三角形相似的判定 C A B A' B' C' 课堂小结 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC =∠E，则图中的 相似三角形共有 ( ) A. 1 对 　　 B. 2 对 C. 3 对 　 　D. 4 对 C 当堂练习 2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C =∠E， AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( ) A. B. C. D. A C A B D E A B D C 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ ) 时，△ACD∽△ABC. ACD ACB B ADC 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC 于 D．若 AB = 6，AD = 2，则 BD = ，AC = ， BC = . 18 D B C A 5. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC. A E F B C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED =∠C， ∠A =∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 证明： ∵ △ABC 的高 AD、BE 交于点 F， 6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F． 求证： D C A B E F ∴ ∠FEA =∠FDB = 90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 证明：∵∠BAC =∠1 +∠DAC，∠DAE =∠3 + ∠DAC，∠1 =∠3， 7. 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O ∴ ∠BAC =∠DAE. ∵ ∠C =∠AOD－∠2， ∠E =∠AOD－∠3， ∠2 =∠3， ∴ ∠C =∠E. ∴ △ABC∽△ADE . $