27.2.1 第3课时 两角相等判定三角形相似（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

该初中数学课件聚焦“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理及直角三角形相似判定，通过“学校活动需三角纸板”情景导入，引导学生从实际问题出发，经合作画三角形、度量比值、推理论证，构建从具体操作到抽象定理的学习支架，衔接相似概念与判定方法。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光（抽象能力、几何直观），通过严谨证明发展数学思维（推理能力），用符号语言和模型应用强化数学语言（模型意识）。如合作画三角形探究边长比值、证明中构造全等三角形，助力学生提升探究与推理能力，教师可借助清晰流程和分层练习优化教学。

初中同步训练 数学 九年级下册 (RJ版) 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 两角相等判定三角形相似 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计 算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算. 学习目标 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ ？ ？ ？ 情景导入 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 1.两角分别相等的两个三角形相似 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 探 究 新 知 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC. 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 1. 判断题： (1) 所有的直角三角形都相似 . （ ） (2) 有一个锐角对应相等的两直角三角形相似. （ ） (3) 所有的等边三角形都相似. （ ） (4) 所有的等腰直角三角形都相似. （ ） (5) 顶角相等的两个等腰三角形相似. （ ） (6) 有一个角相等的两个等腰三角形相似. （ ） × √ √ √ √ × 小例题 2. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，且∠ACD=∠ABC． (1) 求证：△ACD∽△ABC； (2) 若AD=6，AB=10，求AC的长． (1) 证明： ∵ ∠A=∠A，∠ACD=∠B ∴ △ACD∽△ABC (2) 解： ∵ △ACD∽△ABC ∴ AC AB = AD AC ∴ AC2=AD·AB ∵ AD=6，AB=10 ∴ AC= 应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(补角)等隐含条件. 规律总结： 当两个三角形已具备一角对应相等的条件时， 往往先找另一角对应相等. 找角相等时 随堂练习 1. 如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有 对. △CDE∽△CAB △CDE∽△CEA △DEA∽△EAB △CEA∽△CAB 5 60° 60° 2. 如图，等边△ABC的边长为 3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是 . 3 1 2 3 3. 如图，已知：BD，CE 分别是△ABC中AC，AB边上的高. (1) 请你写出图中的相似三角形； (2) 挑选其中的一对相似三角形进行证明. △BOE∽△COD △BOE∽△BAD △COD∽△CAE △COD∽△BAD △BOE∽△CAE △BAD∽△CAE △BOE∽△COD∽△BAD∽△CAE 4. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的的中点. (1) 求证：AC2=AB·AD (2) 若AD=4，AB=6，求 的值. CF AF (1) 证明： ∵ AC平分∠DAB ∴ ∠DAC=∠CAB ∵ ∠ADC=∠ACB=90° ∴ △ACB∽△ADC ∴ AB AC = AC AD ∴ AC2=AB·AD (2) 解： ∵ ∠ACB=90°，E为AB的中点 ∴ CE=AE= AB=3 1 2 ∴ ∠EAC=∠ECA ∵ ∠DAC=∠CAB ∴ ∠DAC=∠ECA ∴ △AFD∽△CFE ∴ CF AF = CE AD = 3 4 AC AF ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 2.判定两个直角三角形相似 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长. D A B C E ∴ 探 究 新 知 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°， ∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 要证明两个三角形相似，即是需要 证明什么呢？ 目标： 证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′B′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 勾股定理 ∴ C A A' B B' C' 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳： 例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； ∴ C A B D 2 (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． C A B D 2 随堂练习 1. 如图，在大小为4×4的正方形方格中，是相似三角形的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ C 2. 一个三角形的三边之比为 3：4：5，另一个三角形的最短边为8，另两边长为 时，这两个三角形相似. 32 3 ， 80 3 3. 如图，已知O是△ABC内一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点. 求证：△ABC∽△DEF 证明： ∵ D、E、F分别是OA、OB、OC的中点 ∴ DE = AB， 1 2 EF = AB， 1 2 DF = AC 1 2 ∴ DE AB = EF AB = DF AC = 1 2 ∴ △ABC∽△DEF 证明： ∵ ∠ABC=∠CDB=90° ∴ ① 当 时， AC CB = CB BD △ABC∽△CDB 即 b a = a BD 解得 BD = a2 b ② 当 时， AC CB = CB CD △ABC∽△BDC 即 b a = a CD 解得 CD = a2 b ∴ BD= 答：当BD= 或 a2 b 时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点 C，D，B 为顶点的三角形相似 4. 如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b. 问当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系时，以点 A，B，C为顶点的三角形与以 点 C，D，B 为顶点的三角形相似？ 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 直角三角形相似的判定 $