27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过复习已学相似判定方法，类比全等三角形SAS，引导学生猜想新判定方法，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以合作探究（作图、测量验证）培养几何直观与空间观念，严谨证明推导发展推理能力，典例精析（如例4利用高转化直角）强化应用意识。助力学生提升探究与推理能力，为教师提供系统教学流程和多样化例题，提高教学效率。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 三边成比例的两个三角形相似 平行线分线段成比例 相似三角形的性质 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 优翼九下数学教学课件（RJ） 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 复习引入 导入新课 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ∠A =∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它 们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个 角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？ 新课讲授 4 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 5 ∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. ∵ A′D = AB， ， ∴ B A C D E B' A' C' 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ，∠A =∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似. 典例精析 例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm． 解：∵ ， ， ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′. 1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F E D 证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. 练一练 ∴ 例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵△ABC 与△ADE 都是等腰三角形， ∴ AD = AE，AB = AC． ∴ 又 ∵∠DAB =∠CAE， ∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE， 即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE． A B C D E 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， A C B E D 例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. ∴ 又∵∠EAD =∠CAB， ∴ △ADE∽△ABC． ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 13 证明：∵ CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC =∠CDB = 90°. ∴△ADC∽△CDB. ∴∠ACD =∠B. ∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°． A B C D ∵ ， 方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 B A C B' A' C' 课堂小结 1. 判断对错： (1) 两个等边三角形相似． ( ) (2) 两个直角三角形相似． ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似． ( ) (4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似． ( ) × √ √ × 当堂练习 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC∽△DBA 的条件是 　 ( ) A. AC : BC = AD : BD B. AC : BC = AB : AD C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC D A B C D 17 3. 如图，△AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 54 30 36 45 E A F C B 相似 4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B=∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA． ∴ ． ∴ 5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB·AD = AE·AC， 求证：△ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB·AD = AE·AC， ∴ 又∵∠DAB =∠CAE， ∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE， 即∠DAE =∠BAC． ∴△ABC ∽△AED. 解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC， ∴ AP : 12 = 6 : 8，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC， ∴ 6 : 12 = AP : 8，解得 AP = 4. ∴ 答案为 9 或 4． 6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D 9 或 4 P P 拓展提升 $