27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，课堂导入通过复习相似三角形定义、已学判定方法，类比全等三角形SSS判定，引导学生思考新判定方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过合作探究（动手画图测量）培养学生几何直观（数学眼光），严格证明过程（构造全等三角形）发展推理能力（数学思维），典例（如结合勾股定理证相似）和练习用符号语言表达比例关系培养模型意识（数学语言）。学生能深化理解判定逻辑，教师可高效开展定理教学与应用训练。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 三边成比例的两个三角形相似 平行线分线段成比例 相似三角形的性质 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 优翼九下数学教学课件（RJ） 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三 角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法， 我们能不能通过三边来判定两个三 角形相似呢？ 导入新课 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ A′ B′ C′ C B A 新课讲授 通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证明该结论. A′ B′ C′ C B A ∴ C B A 证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ DE = BC，A′E = AC. ∴△ABC∽△A′B′C′. B′ C′ A′ E 又 ，A′D = AB， ∴ ， . ∴ △A′DE≌△ABC. D 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 归纳： ∴ △ABC∽△A′B′C′. 符号语言： ∵ ， 例 1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm； A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm. 典例精析 解：相似. 理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10， DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8. (1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6， DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9； 是 否 练一练 例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA； 在 △DEF 中，DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . 方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 例 3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△A′B′C′∽△ABC. 【分析】要运用三边成比例判断相似，而题目只给出 2 组边成比例和 90° 的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边的比，进而求解. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2. ∴ △ A′B′C′∽△ABC. ∴ BC = 2B′C′， ∴∠BAC =∠DAE． ∴△ABC∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 例 4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数. A B C D E 解：∵ ， ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC， 即∠BAD =∠CAE． ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°． 三边成比例的 两个三角形相似 利用三边成比例判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 1. 根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由： AB = 5 cm ，BC = 7 cm ，AC = 8 cm， A′B′ = 15 cm ，B′C′ = 21 cm ，A′C′ = 23 cm. 解：不相似. 理由如下： ∵ ， ， ， ∴△ABC 与△A′B′C′ 的三边不成比例. ∴△ABC 与△A′B′C′ 不相似. 当堂练习 2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由. ① ② 解：相似，理由如下： 图②中的三角形三边分别为 2，2 ，2 . ∵ ∴ 这两个三角形相似. 图①中的三角形三边分别为 ，2 ， ； 3. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，求证： △ABC∽△DBA. A C B P D ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC， ∴△ABC∽△DBA. 证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， ∴ AB = ，AC = ，AD = . 4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC， CA 的中点， ∴ ∴ 5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行．理由如下： ∵ ， ∴ △ABD∽△BDC． ∴∠ABD =∠BDC，AB∥DC． 20 $