26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的的综合运用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象性质、k的几何意义及与一次函数的综合运用，通过复习双曲线形状和k对性质的影响导入，搭建新旧知识桥梁，为综合应用提供学习支架。 其亮点在于以合作探究驱动学习，如通过矩形面积实验探究k的几何意义，培养学生几何直观与抽象能力（数学眼光）。结合典例精析和分层练习，如待定系数法求解析式、函数交点问题，发展推理意识与模型意识（数学思维与语言）。既帮助学生深化理解，又为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

新知一览 反比例函数 实际问题与反比例函数 反比例函数 反比例函数的图象和性质 反比例函数 实际问题中的反比例函数 其他学科中的反比例函数 反比例函数的图象和性质的综合应用 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 第二十六章 反比例函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 复习引入 问题1 问题2 导入新课 用待定系数法求反比例函数的解析式 典例精析 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一 象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 新课讲授 (2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这 个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以该反比例函数的解析式为 . 练一练 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 反比例函数图象和性质的综合 (1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ O x y 例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以m－5＞0，解得m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小. 因此，当x1＞x2时，y1＜y2. O x y 练一练 如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 合作探究 反比例函数解析式中 k 的几何意义 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) ，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两 点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP=|k|. y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. B P A S 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA， SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 做一做 根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1 例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4. ∴ 反比例函数的解析式为 1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 y x O P A 练一练 k 的绝对值为12 图象在第二、四象限，故 k＜0 2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 根据面积得出 |k| 为3，未说明图象经过的象限，因此 k 等于3或-3 例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 练一练 解析：由反比例函数面积的不变性易 知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于 点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2， 而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3. F S1 S2 S3 y D B A C x 例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___. 3 2 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形. O 如图，函数 y＝－x 与函数 y＝－ 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 练一练 4 4 y＝－ 反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 合作探究 ① x y O x y O ② k2 < 0 b < 0 k1 < 0 k2 < 0 b > 0 ③ x y O k1 > 0 ④ x y O 例 6 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 练一练 a＞0， a＜0，矛盾 a＞0 a＞0，成立 不满足与 y 轴交点为（0，1） a＜0， a＞0，矛盾 例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了. 练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围 是 ． －1 2 y x O A B x < －1 或 0 < x < 2 例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． (2，6) 和 (－2，－6) 解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB⊥x 轴于点 B，连接 OP，且△OBP 的面积 为 2，则 k 的值为 ( ) O B P x y A 当堂练习 2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析 式是_______． 代入一次函数中，求得 k = 3 3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________． 1＜x＜5 O B A x y 1 5 表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围 4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? 解：(1) 依题意把点 A (2，－4) 代入解析式，得 ， 解得 k = －8. (2) 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 画出该函数的图象； (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. (4) 该反比例函数的解析式为 . O x y 解：(3) 如图所示. x y O B A 5. 如图，直线 y = ax + b 与双曲线 交于 A (1，2)，B (m，－4) 两点. (1) 求直线与双曲线的解析式； 所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 把 A，B 两点坐标代入 y = ax + b 中，解得 a = 4，b = －2. 解：把 A (1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当 y =－4 时，m = . (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ， 则 x＞1 或 ＜x＜0. x y O B A 6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解：由题意得 ， y = －x + 2， 所以 A (－2，4)，B (4，－2). 解得 或 x = 4， y =－2， x = －2， y = 4. 作 AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于 D， 则 AC = 4，BD = 2. (2) 求△AOB 的面积. 解：∵一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM = 2. O A y B x M C D ∴S△OMB = OM·BD÷2 = 2×2÷2 = 2. ∴S△OMA = OM·AC÷2 = 2×4÷2 = 4. ∴S△AOB = S△OMB + S△OMA = 2 + 4 = 6. 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 课堂小结 $