第28章 锐角三角函数 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的定义、特殊角值、解直角三角形及实际应用，通过选择、填空、解答题的梯度设计，将基础计算、几何推理与现实情境问题串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于融入“新考向创新综合”情境题，如神舟十四号运行、校园文化长廊设计等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理证明（如sin²A+cos²A=1推导）发展数学思维，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章学业质量评价 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. sin 30°等于(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离 为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的余弦值等 于(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 已知∠A是锐角，且满足3tanA－ ＝0，则 ∠A的大小为(　A　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 无法确定 4. 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8， sin A＝ ，点D是AB的中点，则CD的长为(　B　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 A B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2， 1)，则 sin α的值是(　B　) A. B. C. D. 2 第5题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形 的边长均为1)，AD⊥BC于点D，下列选项中错误 的是(　C　) A. sin α＝ cos α B. tanC＝2 C. sin β＝ cos β D. tanα＝1 第6题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 第7题图 7. 如图，某梯子长10m，斜靠在竖直的墙面上，当 梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上 的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子 底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知 sin α＝ cos β＝ ，则梯子顶端上升了(　C　) A. 1m B. 1.5m C. 2m D. 2.5m C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 45°，∠C＝120°，CD＝8，则AB的长为(　D　) A. 12 B. 4 C. 4 D. 4 第8题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 新考向创新综合如图，当“神舟十四号”运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝ km，∠FOQ＝20°， cos 20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为(　C　) A. 700πkm B. πkm C. πkm D. 无法确定 第9题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的 一动点，正方形EFGH的顶点G，H都在边AD上. 若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值(　A　) A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 随点E位置的变化而变化 第10题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， cos A＝ ，则 sin B＝ ⁠. 12. 已知锐角α，且 cos (α＋15°)＝ ，则α的度数 为 ⁠. 　 45°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分 线MN交AC于点D，连接BD. 若 cos ∠BDC＝ ，BD＝10，则AC的长为 ⁠. 第13题图 16　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，已知AB是☉O的直径，BC与☉O相切 于点B，连接AC，OC. 若 sin ∠BAC＝ ，则 tan∠BOC＝ ⁠. 第14题图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东 航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向 上，航行12nmile到达点C处，测得小岛A在它的北 偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离 是 nmile. 6 　 第15题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2 和l3之间的距离是2，△ABC的三个顶点分别在l1， l2，l3上，AC与l2交于点D，如果BC⊥AC， tan∠BAC＝ ，那么BD的长是 ⁠. 第16题图 5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共72分) 17. (8分)计算： ＋｜1－ cos 60°｜ －2tan45°· sin 60°. 解：原式＝ －1＋1－ －2×1× ＝－ .(8分) 解：原式＝ －1＋1－ －2×1× ＝－ .(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. (8分)如图，在△ABC中，点D是BC边上一点， 且AB＝AD，AE⊥BC，AB＝13，AE＝12， sin ∠ACB＝ ，求CD的长. 解：∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形. ∵AE⊥BC， ∴DE＝BE. 在Rt△ABE中，AB＝13，AE＝12， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴BE＝ ＝ ＝5. ∴DE＝BE＝5. ∵ sin ∠ACB＝ ＝ ， ∴AC＝ ×12＝18.在Rt△ACE中，CE＝ ＝ ＝6 . ∴CD＝CE－DE＝6 －5.(8分) ∴AC＝ ×12＝18.在Rt△ACE中， ＝ ＝6 . ∴CD＝CE－DE＝6 －5.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)如图，某屋架跨度的一半OP＝5m，高度 OQ＝2.5m，现在屋顶上开一个天窗，AB在水平位 置，且AB＝2.4m，求天窗高度AC的长. 解：∵AB在水平位置， ∴AB∥OP. ∴∠ABC＝∠OPQ. ∴tan∠ABC＝tan∠OPQ. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AC＝1.2m，即天窗高度AC的长为1.2m.(8分) 解：∵AB在水平位置， ∴AB∥OP. ∴∠ABC＝∠OPQ. ∴tan∠ABC＝tan∠OPQ. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AC＝1.2m，即天窗高度AC的长为1.2m.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (8分)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)求证： sin 2A＋ cos 2A＝1； (1)证明：∵ sin A＝ ， cos A＝ ， ∴ sin 2A＋ cos 2A＝ . ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2＋AC2＝ AB2. ∴ sin 2A＋ cos 2A＝1.(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)若 sin A＋ cos A＝ ，求 sin A· cos A的值. 20. (8分)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°. (2)解：∵ sin A＋ cos A＝ ， ∴( sin A＋ cos A)2＝()2，即 sin 2A＋ cos 2A＋2 sin A· cos A＝ . ∵ sin 2A＋ cos 2A＝1， ∴1＋2 sin A· cos A＝ . ∴ sin A· cos A＝ .(8分) (2)解：∵ sin A＋ cos A＝ ， ∴( sin A＋ cos A)2＝()2， 即 sin 2A＋ cos 2A＋2 sin A· cos A＝ . ∵ sin 2A＋ cos 2A＝1， ∴1＋2 sin A· cos A＝ . ∴ sin A· cos A＝ .(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (8分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，BD＝6，tanB＝ ，E是边BC的中点. (1)求边AC的长； 解：(1)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°. ∴tanB＝ ＝ . ∵BD＝6， ∴CD＝4. ∴AC＝ ＝ ＝2 .(4分) 解：(1)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°. ∴tanB＝ ＝ . ∵BD＝6， ∴CD＝4. ∴AC＝ ＝ ＝2 .(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求∠EAB的正切值. 解：(2)如图，过点E作EH⊥AB于点H. ∵CD⊥AB，EH⊥AB， ∴EH∥CD. ∵E是边BC的中点，即EC＝EB， ∴DH＝BH＝3. ∴EH＝ CD＝2. 解：(2)如图，过点E作EH⊥AB于点H. ∵CD⊥AB，EH⊥AB， ∴EH∥CD. ∵E是边BC的中点，即EC＝EB， ∴DH＝BH＝3. ∴EH＝ CD＝2. 21. (8分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，BD＝6，tanB＝ ，E是边BC的中点. ∴AH＝AD＋DH＝2＋3＝5. ∴tan∠EAB＝ ＝ .(8分) ∴AH＝AD＋DH＝2＋3＝5. ∴tan∠EAB＝ ＝ .(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (10分) 新考向综合与实践学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案.以下是数学兴趣小组提供的设计表. 校园主题文化长廊设计表 设计图 相关 数据 点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，EF垂直平分AB，垂足为F，EF垂直平分CD，与CD交于点G.其中AB＝3m，BD＝1.5m，∠ABD＝130°，∠BDE＝98°. 请根据设计表提供的信息完成下列问题： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)求文化长廊的最大宽度CD的长； 解：(1)如图②，过点D作DH⊥AB，交AB的延长 线于点H. ∵∠ABD＝130°， ∴∠HBD＝50°.在Rt△DHB中，∠DHB＝ 90°，则BH＝BD× cos 50°≈1.5×0.64＝ 0.96(m). ∵四边形DHFG为矩形，FB＝ AB＝1.5m，CD ＝2DG， 解：(1)如图②，过点D作DH⊥AB，交AB的延长 线于点H. ∵∠ABD＝130°， ∴∠HBD＝50°.在Rt△DHB中，∠DHB＝ 90°， 则BH＝BD× cos 50°≈1.5×0.64＝ 0.96(m). ∵四边形DHFG为矩形， FB＝ AB＝1.5m， CD ＝2DG， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴DG＝FH＝FB＋BH≈1.5＋0.96＝2.46(m). ∴CD＝2DG≈4.92≈4.9(m). 答：文化长廊的最大宽度CD的长约为4.9m.(5分) ∴DG＝FH＝FB＋BH≈1.5＋0.96＝2.46(m). ∴CD＝2DG≈4.92≈4.9(m). 答：文化长廊的最大宽度CD的长约为4.9m.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)求文化长廊的最高点E到地面AB的距离. (结果精确到0.1m.参考数据： sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan50°≈1.19， sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，tan48°≈1.11) 解：(2)DH＝BD× sin 50°≈1.5×0.77＝ 1.155(m)， ∵四边形DHFG为矩形， ∴DH＝GF＝1.155m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴∠GDE＝∠BDE－∠BDG＝98°－50°＝48°. 在Rt△DGE中，∠DGE＝90°，EG＝ DG×tan48°≈2.46×1.11＝2.7306(m)， ∵FH∥DG， ∴∠BDG＝180°－∠ABD＝50°. ∴EF＝EG＋GF≈2.7306＋1.155＝ 3.8856≈3.9(m). 答：文化长廊的最高点E到地面AB的距离EF约为 3.9m.(10分) ∴EF＝EG＋GF≈2.7306＋1.155＝ 3.8856≈3.9(m). 答：文化长廊的最高点E到地面AB 的距离EF约为 3.9m.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (10分)如图，四边形ABCD是正方形，E为BC 上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕 为MN，连接AE，与MN交于点G. 若tan∠AEN ＝ ，DC＋CE＝10. (1)求BE的长； 解：(1)由折叠可知MN为AE的垂直 平分线， ∴AN＝EN，∠EAN＝∠AEN. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴tan∠AEN＝tan∠EAN＝ .设BE ＝a，则AB＝3a. ∴CE＝2a. ∵DC＋CE＝10， ∴3a＋2a＝10，即a＝2. ∴BE＝2.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(2)由(1)知a＝2， ∴AB＝6. 23. (10分)如图，四边形ABCD是正方形，E为BC 上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕 为MN，连接AE，与MN交于点G. 若tan∠AEN ＝ ，DC＋CE＝10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴NG＝ . ∴NE＝ ＝ ＝ . ∴ sin ∠ENB＝ ＝ ＝ .(10分) ∴NG＝ . ∴NE＝ ＝ ＝ . ∴ sin ∠ENB＝ ＝ ＝ .(10分) ∵AE＝ ＝ ＝2 ， ∴EG＝ AE＝ . 又∵tan∠AEN＝ ＝ ， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (12分)日照间距系数反映了房屋日照情况.如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图 ②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m 的楼房AB，底部A点到E点的距离为4m. (1)求山坡EF的水平宽度FH. 解：(1)在Rt△EFH中， ∵∠H＝90°， ∴tan∠EFH＝i＝1∶0.75＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 设EH＝4x，则FH＝3x， ∴EF＝ ＝5x.(3分) ∵EF＝15， ∴5x＝15，解得x＝3. ∴FH＝3x＝9m.即山坡EF的水平宽度FH为 9m.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C处距F处至少多远？ 24. (12分)日照间距系数反映了房屋日照情况.如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图 ②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m 的楼房AB，底部A点到E点的距离为4m. 解：(2)∵L＝CF＋FH＋EA＝ CF＋9＋4＝(CF＋ 13)(m)， H＝AB＋EH＝22.5＋12＝ 34.5(m)，H1 ＝0.9m， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴日照间距系数＝L∶(H－H1)＝ ＝ .(9分) ∴ ≥1.25. ∴CF≥29m.(11分) 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 处距F处至少29m远.(12分) 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 处距F处至少29m远.(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $