28.2.1 解直角三角形（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心内容，涵盖已知两边、一边及一锐角、一锐角三角函数值及一边三种类型，通过基础例题衔接锐角三角函数旧知，搭建从知识点理解到综合应用的学习支架。 其亮点是分层设计（学习理解、应用实践、迁移创新），融入多地模拟题，规范解题步骤（如第5题推导过程）。通过思维变式题（30°、45°角三角形求边长）培养几何直观与推理意识，迁移创新题（坐标系中三角形）发展模型意识，助力学生提升运算能力，为教师提供分层教学资源与规范示例。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章　锐角三角函数 28.2　解直角三角形及其应用 28.2.1　解直角三角形 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　已知两边解直角三角形 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝ ，则∠A的度数为(　C　) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝ 3 ，AC＝3 ，解此直角三角形. 解：AB＝6 ，∠A＝30°，∠B＝60°. 解：AB＝6 ，∠A＝30°，∠B＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点二　已知一边及一锐角解直角三角形 3. (2025·长春月考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝ 90°，若∠A＝α，AB＝4，则AC的长是(　C　) A. 4 sin α B. C. D. 4tanα 第3题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝ 30°，AB＝2 ，AC＝3，则tan∠ACD的值 为(　A　) A. B. C. D. 第4题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 思维变式 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC ＝2 ，则AB的长为 　3＋ 　. 　 3＋ 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三 角形. (1)∠B＝60°，a＝4； 解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－ 60°＝30°. 由tanB＝ ，得b＝atanB＝4tan60°＝4 . 由 cos B＝ ，得c＝ ＝ ＝8. 解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－ 60°＝30°. 由tanB＝ ，得b＝atanB＝4tan60°＝4 . 由 cos B＝ ，得c＝ ＝ ＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)∠A＝22°，c＝10( sin 22°≈0.37， cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，其中结果精确到0.1). 解：(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝90°－ 22°＝68°. ∵∠A＝22°，c＝10， ∴b＝c· cos A＝10 cos 22°≈9.3，a＝c· sin A＝ 10 sin 22°≈3.7. 解：(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝90°－ 22°＝68°. ∵∠A＝22°，c＝10， ∴b＝c· cos A＝10 cos 22°≈9.3，a＝c· sin A＝ 10 sin 22°≈3.7. 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三 角形. 解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90＝ 30°. 由tan B ＝ ，得b＝atanB＝4tan60°＝4 . 由 cos B＝ ，得c＝ ＝ ＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点三　已知一锐角三角函数值及一边解直角三 角形 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，BC＝ 2cm，则AC的长为(　B　) A. cm B. cm C. 3cm D. 6cm B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. (2025·台州黄岩区二模)在△ABC中，∠B＝ 90°，点D为BC边上的一点，BC＝8，tanC＝ . (1)求AB的长； 解：(1)在Rt△ABC中，tanC＝ . ∵tanC＝ ，BC＝8， ∴AB＝ ×8＝4. 解：(1)在Rt△ABC中，tanC＝ . ∵tanC＝ ，BC＝8， ∴AB＝ ×8＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若AB－BD＝2，求 sin ∠ADB的值. 解：(2)∵AB＝4，AB－BD＝2， ∴BD＝2. 在Rt△ABD中，AD＝ ＝2 ， ∴ sin ∠ADB＝ ＝ ＝ . 解：(2)∵AB＝4，AB－BD＝2， ∴BD＝2. 在Rt△ABD中，AD＝ ＝2 ， ∴ sin ∠ADB＝ ＝ ＝ . 7. (2025·台州黄岩区二模)在△ABC中，∠B＝ 90°，点D为BC边上的一点，BC＝8，tanC＝ . 解：(1)在Rt△ABC中，tanC＝ . ∵tanC＝ ，BC＝8， ∴AB＝ ×8＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 第8题图 8. (2025·西安雁塔区模拟)如图，在△ABC中，AB ＝10， cos ∠ABC＝ ，D为BC边上一点，且AD ＝AC. 若DC＝4，则BD的值为(　D　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. 如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的 顶点均在格点上，D为AC与网格线的交点，则 cos ∠ABD＝ 　 　， sin ∠CBD＝ 　 　，tanC ＝ ⁠. 　 　 　 第9题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. (2025·北京朝阳区月考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB， sin A＝ ，BE＝2，则 cos ∠DBE 的值是 ⁠. 第10题图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 11. (2025·连云港模拟)如图，在△ABC中，∠B＝ 45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC， 垂足为点E，若CD＝5， sin ∠BCD＝ . (1)求BC的长； 解：(1)∵DE⊥BC， sin ∠BCD ＝ ， ∴ ＝ . ∵CD＝5， ∴DE＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 解：(1)∵DE⊥BC， sin ∠BCD ＝ ， ∴ ＝ . ∵CD＝5， ∴DE＝3. ∴CE＝4. ∵∠B＝45°， ∴DE＝BE＝3. ∴BC＝BE＋CE＝3＋4＝7. ∴CE＝4. ∵∠B＝45°， ∴DE＝BE＝3. ∴BC＝BE＋CE＝3＋4＝7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)求∠ACB的正切值. 解：(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F， ∴DE∥AF. ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线. ∴AF＝2DE，BF＝2BE. ∵DE＝BE＝3， ∴AF＝6，BF＝6. ∴CF＝BC－BF＝1. ∴tan∠ACB＝ ＝6. 解：(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F， ∴DE∥AF. ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线. 11. (2025·连云港模拟)如图，在△ABC中，∠B＝ 45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC， 垂足为点E，若CD＝5， sin ∠BCD＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴AF＝2DE，BF＝2BE. ∵DE＝BE＝3， ∴AF＝6，BF＝6. ∴CF＝BC－BF＝1. ∴tan∠ACB＝ ＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上 一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ，∠BAD＝α. (1)求AD的长； 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，tanB＝ ，AB＝5， ∴可设AC＝3x，BC＝4x. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52， 解得x＝－ 1(舍去)或x＝1. ∴AC＝3，BC＝4. ∵BD＝1， ∴CD＝3. ∴AD＝ ＝3 . ∴AD＝ ＝3 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)求 sin α的值. 解：(2)如图，过点D作DE⊥AB于 点E，在Rt△BED中，tanB＝ ， ∴可设DE＝3y，则BE＝4y. ∵DE2＋BE2＝BD2， ∴(3y)2＋(4y)2＝12，解得y＝－ (舍去)或y＝ . 解：(2)如图，过点D作DE⊥AB于 点E，在Rt△BED中，tanB＝ ， ∴可设DE＝3y，则BE＝4y. 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上 一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ，∠BAD＝α. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴DE＝ . ∴ sin α＝ ＝ ＝ . ∴DE＝ . ∴ sin α＝ ＝ ＝ . ∵DE2＋BE2＝BD2， ∴(3y)2＋(4y)2＝12，解得y＝－ (舍去)或y＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠BAO＝90°，点B在x轴上，AO＝5， cos α＝ . (1)求点A的坐标； 解：(1)如图，过点A作AN⊥OB 于点N，则 cos α＝ ＝ ＝ ，可得ON＝3. ∴AN＝4. ∴点A的坐标为(3，4). 解：(1)如图，过点A作AN⊥OB 于点N，则 cos α＝ ＝ ＝ ，可得ON＝3. ∴AN＝4. ∴点A的坐标为(3，4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)求∠ABO的正切值； 解：(2)由(1)知，tan∠OAN＝ ＝ ， 又∵∠AOB＋∠ABO＝∠AOB＋∠OAN＝90°， ∴tan∠ABO＝tan∠OAN＝ . 解：(2)由(1)知，tan∠OAN＝ ＝ ， 又∵∠AOB＋∠ABO＝∠AOB＋ ∠OAN＝90°， ∴tan∠ABO＝tan∠OAN＝ . 13. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠BAO＝90°，点B在x轴上，AO＝5， cos α＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (3)延长BA交y轴于点C，求点C的坐标. 解：(3)在Rt△OAB中， cos α＝ ＝ ，OA＝5， 则OB＝ . 由(2)知，tan∠ABO＝ ＝ ＝ ， ∴OC＝ ，即点C(0， ). 解：(3)在Rt△OAB中， cos α＝ ＝ ，OA＝5， 则OB＝ . 由(2)知，tan∠ABO＝ ＝ ＝ ， ∴OC＝ ，即点C(0， ). 13. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠BAO＝90°，点B在x轴上，AO＝5， cos α＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $