第28章 专题12 解直角三角形的应用[情境串联]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十八章锐角三角函数专题，核心内容为解直角三角形的应用，涵盖母子型、背靠背型、拥抱型等图形类型，以“化斜为直”为通性通法，通过母题与变式串联情境，搭建从图形认知到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合图形分类与真实情境问题，如测量桥塔高度、水池雕塑底座面积等，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。教师可借助此资料系统训练学生用数学解决实际问题，助力学生提升应用能力与学科素养。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十八章　锐角三角函数 专题12 解直角三角形的应用[情境串联] 图形 展示 母 子 型 背 靠 背 型 图形 展示 拥 抱 型 通性 通法 通过作垂线或平行线，构建直角三角形来解 决问题，简称为“化斜为直”. [母题] 教材P84复习题T8改编如图，两座建筑物的水平距离BC为30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为45°，求这两座建筑物的高度. 解：如图，过D点作DE⊥AB 于E，则四边形 BCDE为矩形， ∴DE＝BC＝30m，CD＝BE. 由题意可知∠ADE＝30°， ∠ACB＝45°， ∴在Rt△ABC中，AB＝BC＝30m； 在Rt△ADE中，AE＝ED·tan30°＝30× ＝ 10 (m). ∴CD＝EB＝AB－AE＝(30－10 )(m). 答：建筑物AB的高度为30m，建筑物CD的高度为 (30－10 )m. 答：建筑物AB的高度为30m，建筑物CD的高度为 (30－10 )m. [变式1]如图，建筑物CD的高度是15m，从D点测 得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，则建筑 物AB的高度为 m. 15(1＋ )　 [变式2]如图，建筑物CD的高度是7.5m，从C点测得A点的仰角为43°，从D点测得B点的俯角是13°，求建筑物AB的高度(结果保留小数点后一位，参考数据： sin 43°≈0.68， cos 43°≈0.73，tan43°≈0.93， sin 13°≈0.22， cos 13°≈0.97，tan13°≈0.23). 解：由题意得CD＝7.5m，∠ACB＝43°，∠DBC ＝13°， ∴BC＝ ≈ ≈32.61(m). ∴AB＝BC·tan43°≈32.61×0.93≈30.3(m). 答：建筑物AB的高度约为30.3m. 解：由题意得CD＝7.5m，∠ACB＝43°， ∠DBC ＝13°， ∴BC＝ ≈ ≈32.61(m). ∴AB＝BC·tan43°≈32.61×0.93≈30.3(m). 答：建筑物AB的高度约为30.3m. [针对训练] 1. (2025·内江中考)在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度(如图甲).他们设计了如下方案：如图乙，点B，D，C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角(∠ABD)为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角(∠ACD)为30°，又测得BC＝80m， AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度(结果保留根号). 解：设AD＝xm， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC ＝90°.在Rt△ABD中， 2 3 1 ∠ABD＝45°， ∴BD＝ ＝ ＝x(m). ∴x＋ x＝80.解得x＝40 －40. ∴AD＝(40 －40)m. 答：桥塔AD的高度为(40 －40)m. ∴x＋ x＝80.解得x＝40 －40. ∴AD＝(40 －40)m. 答：桥塔AD的高度为(40 －40)m. 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴CD＝ ＝ ＝ x(m). ∵BC＝BD＋CD＝80m， 2 3 1 2. [综合与实践]某数学研究性学习小组在老师的指 导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底 座的底面为矩形ABCD，其示意图如 下： 2 3 1 活 动 过 程 测绘过 程与数 据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得： sin 60.3°≈0.87， cos 60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75， sin 21.8°≈0.37， cos 21.8°≈0.93， tan21.8°≈0.40. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)： 2 3 1 (1)求线段CE和BC的长度； 解：(1)∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝ 60.3°， ∴tan∠CFE＝tan60.3°＝ ≈1.75. ∴CE≈7米. ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米. ∴CB＝CE－BE＝3米. ∴CE的长度约为7米，BC的长度约为3米. 解：(1)∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝ 60.3°， ∴tan∠CFE＝tan60.3°＝ ≈1.75. ∴CE≈7米. ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米. ∴CB＝CE－BE＝3米. ∴CE的长度约为7米，BC的长度约为3米. 2 3 1 (2)求底座的底面ABCD的面积. 解：(2)如图，过点A作AM⊥GH于点M. ∵∠AFG＝21.8°， ∴tan∠AFG＝tan21.8°＝ ≈0.4. ∵AM＝BE＝4米， ∴MF≈10米. ∴AB＝ME＝10－4＝6(米). ∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18(平方米). 解：(2)如图，过点A作AM⊥GH于点M. ∵∠AFG＝21.8°， ∴tan∠AFG＝tan21.8°＝ ≈0.4. ∵AM＝BE＝4米， ∴MF≈10米. ∴AB＝ME＝10－4＝6(米). ∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18(平方米). 2 3 1 3. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记 忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄 河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航 模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据. 2 3 1 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长 表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地 面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C 处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿 CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角 ∠NCD＝37°，当到达点A 正上方的点E处时，测 得AE＝9米；…… 2 3 1 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1米.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin 18.4°≈0.32， cos 18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33). 解：如图，延长CD交AB于点H. 由题意得四边形CMBH为矩形， ∴CM＝HB＝20.在Rt△ACH中， ∠AHC＝ 90°，∠ACH＝18.4°， ∴tan∠ACH＝ . 2 3 1 ∴CH＝ ＝ ≈ . 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°， ∴tan∠ECH＝ . ∴CH＝ ＝ ≈ . 设AH＝x. ∵AE＝9， ∴EH＝x＋9. 2 3 1 ∴ ＝ ，解得x≈7.1. ∴AB＝AH＋HB＝7.1＋20≈27(米). 答：纪念碑顶部点A到地面的距离 AB的长约为27 米. 2 3 1 $