第27章 专题9 与相似有关的探究问题[综合与实践]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十七章“相似”专题，围绕从全等到相似的类比探究、相似中的类比与动点问题展开，通过等边三角形全等证明导入，逐步过渡到等腰直角三角形相似比计算，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以类比探究（如从正方形到平行四边形的DE/CF比值推导）和动点问题（如P、Q运动中PQ∥BC的时间求解）为载体，培养学生的推理能力与几何直观，解题过程规范（如勾股定理求PQ距离），助力学生发展数学思维，教师可分层引导，提升教学效率。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十七章　相似 专题9　与相似有关的探究问题[综合与实践] 类型一　从全等到相似的类比探究 1. [问题呈现]如图①，△ABC和△ADE都是等边三 角形，连接BD，CE. 求证：BD＝CE. 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，即∠BAD ＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE. 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC， ∠DAE＝∠BAC＝60°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， 即∠BAD ＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE. 2 3 4 1 [类比探究]如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE.求 的值. 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴ ＝ ＝ ，∠DAE＝∠BAC＝45°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，即∠BAD ＝∠CAE. ∴△BAD∽△CAE. ∴ ＝ ＝ ＝ . 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴ ＝ ＝ ，∠DAE＝∠BAC＝45°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， 即∠BAD ＝∠CAE. ∴△BAD∽△CAE. ∴ ＝ ＝ ＝ . 2 3 4 1 2. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三 角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E为线段BC上 一点，将△DEF绕点E旋转时，线段DE与AB交于 点P，线段EF与直线CA交于点Q. (1)如图①，点Q在线段AC上且 BP＝CE时，求证：△BPE≌△CEQ； 证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的 等腰直角三 角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°. 2 3 4 1 ∵∠BEQ＝∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP＝∠EQC. ∵BP＝CE， ∴△BPE≌△CEQ(AAS). 2 3 4 1 (2)如图②，点Q在线段CA的延长线 上时，求证：△BPE∽△CEQ； 2. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E为线段BC上一点，将△DEF绕点E旋转时，线段DE与AB交于点P，线段EF与直线CA交于点Q. 证明：∵∠BEQ＝∠BEP＋∠DEF＝ ∠EQC＋ ∠C，∠DEF＝∠C＝45°， ∴∠BEP＝∠EQC. 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ. 2 3 4 1 证明：∵∠BEQ＝∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋ ∠C，∠DEF＝∠C＝45°， ∴∠BEP＝∠EQC. 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ. (3)如图③，点Q在线段CA的延长线上， 若 ＝ ，BP＝ a，CQ＝ a，求P，Q两 点间的距离(用含a的代数式表示). 2. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E为线段BC上一点，将△DEF绕点E旋转时，线段DE与AB交于点P，线段EF与直线CA交于点Q. 解：∵ ＝ ， ∴CE＝2BE. 2 3 4 1 解：∵ ＝ ， ∴CE＝2BE. 由(2)得△BPE∽△CEQ， ∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得BE＝ a. ∴BC＝2 a. ∴AB＝AC＝ BC＝2a. ∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得BE＝ a. ∴BC＝2 a. ∴AB＝AC＝ BC＝2a. 由(2)得△BPE∽△CEQ， 2 3 4 1 ∴AQ＝CQ－AC＝ a－2a＝ a，AP＝AB－BP ＝2a－ a＝ a.连接PQ，在Rt△APQ中，PQ＝ ＝ ＝ a. ∴P，Q两点间的距离为 a. ∴AQ＝CQ－AC＝ a－2a＝ a，AP＝AB－BP ＝2a－ a＝ a.连接PQ，在Rt△APQ中，PQ＝ ＝ ＝ a. ∴P，Q两点间的距离为 a. 2 3 4 1 类型二　相似中的类比探究 3. 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G. [问题发现] (1)①如图①，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，则 ＝ ⁠； ②如图②，当四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF时，若AB＝m，AD＝n，则 ＝ 　 　.. 1　 　 2 3 4 1 [拓展研究] (2)如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B ＋∠EGC＝180°，求证： ＝ . 证明：如图③，在AD的延长 线上取点M， 使CM ＝CF， 则∠CMF＝∠CFM. 2 3 4 1 证明：如图③，在AD的延长线上取点M，使CM ＝CF，则∠CMF＝∠CFM. ∵∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠EGF＝ 180°， ∴∠B＝∠EGF. ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠CDM. ∵AD∥BC， ∴∠B＋∠A＝180°. ∵∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠EGF＝ 180°， ∴∠B＝∠EGF. ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠CDM. ∵AD∥BC， ∴∠B＋∠A＝180°. 2 3 4 1 ∵∠B＝∠EGF， ∴∠EGF＋∠A＝180°. ∴∠AED＋∠AFG＝180°. 又∵∠AFG＋∠CFM＝180°， ∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF. ∴△ADE∽△DCM. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∵∠B＝∠EGF， ∴∠EGF＋∠A＝180°. ∴∠AED＋∠AFG＝180°. 又∵∠AFG＋∠CFM＝180°， ∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF. ∴△ADE∽△DCM. ∴ ＝ ，即 ＝ . 2 3 4 1 类型三　相似中的动点问题 4. (2025·宣城期末)如图，在△ABC中，BA＝BC＝ 20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿着AB以 4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为xs. (1)x为何值时，PQ∥BC？ 解：(1)由题意知xs时，AP＝ 4xcm，BP＝(20－4x)cm，CQ ＝3xcm，AQ＝(30－3x)cm. 2 3 4 1 解：(1)由题意知xs时，AP＝ 4xcm，BP＝(20－4x)cm，CQ ＝3xcm，AQ＝(30－3x)cm. 当PQ∥BC时， ＝ . ∴ ＝ ， 解得x＝ . 故当x＝ 时，PQ∥BC. 当PQ∥BC时， ＝ . ∴ ＝ ， 解得x＝ . 故当x＝ 时，PQ∥BC. 2 3 4 1 (2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存 在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由. 解：(2)存在. ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C. 当 ＝ 时， △APQ∽△CQB. ∴ ＝ . 解：(2)存在. ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C. 4. (2025·宣城期末)如图，在△ABC中，BA＝BC＝ 20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿着AB以 4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为xs. 2 3 4 1 整理，得9x2－10x＝0. 解得x1＝0(不合题意舍去)，x2＝ . ∴AP＝4x＝ (cm). 整理，得9x2－10x＝0. 解得x1＝0(不合题意舍去)，x2＝ . ∴AP＝4x＝ (cm). 当 ＝ 时， △APQ∽△CQB. ∴ ＝ . 2 3 4 1 $