第27章 专题6 相似模型（一）一一“A”字模型及其变形（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十七章相似专题，系统梳理“ A”字模型及其变形（正“A”、反“A”、“8”字、母子型等），通过旋转、平移等演变过程构建知识脉络，以学习支架形式帮助学生从基本模型过渡到复杂变形。 其亮点在于分阶呈现模型应用，从基础辨识到综合旋转型再到构造辅助线解题，通过几何直观发展数学眼光，以严谨证明步骤培养推理能力。如构造平行线证线段比例，助力学生掌握模型思想，教师可依托分层例题提升教学效率。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十七章　相似 专题6　相似模型（一）一一“A”字模型及其变形 模型演变 一阶　“A”字基本模型与“8”字型 [技巧点拨]认清正反，找准对应角和对应边. 1. 如图，已知AD，BC交于点O，若∠A＝∠C， AB＝1，CD＝2，则BO∶DO＝(　A　) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1 第1题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F. 若 AB＝4，则EF的长为(　B　) A. B. 1 C. D. 2 第2题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件 可以是 (写出一种情 况即可). 第3题图 ∠ADE＝∠C(答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 4. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，过点D作 DE⊥AC于点E，交BC于点F. 第4题图 (1)若 ＝ ，则 的值为 　 　； 　 (2)若CF＝ AD，且AC＝16，则 AE的长为 ⁠. 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 二阶　“母子”型与“旋转”型 [技巧点拨]“母子型”可先找准对应角，再找对 应边；“旋转”型可先找旋转角，再找对应角与 对应边. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 5. 如图，在△ABC中，D是AB上的点，∠B＝∠ACD，AB＝2AC，CD＝2，则BC的长 为(　D　) A. 1 B. C. 3 D. 4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 6. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上， AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. 若AD＝5， CG＝4，则△AEF的面积为 ⁠. 第6题图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 7. 如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ 8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作 DE∥BC交AC于E，将△ADE绕点A顺时针旋转 到图②的位置，则图②中 的值为 　 　. 　 第7题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 8. 一题多解(2025·淮南期末)如图，∠ABE＝ 90°，且AB＝BC＝CD＝DE＝1，请认真研究图 形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证 明你的猜想. 解：△ACD∽△ECA. 证明如下：由勾股定理得 AC＝ ，AD＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ . AE＝ ， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：△ACD∽△ECA. 证明如下：由勾股定理得 AC＝ ，AD＝ ，AE＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴△ACD∽△ECA. (也可根据两边成比例且夹角相 等去证明，证法略) ∴ ＝ ＝ . ∴△ACD∽△ECA. (也可根据两边成比例且夹角相 等去证明，证法略) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 9. (2025·周口期中)如图，在四边形ABCD中， AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝ ∠DBC， ＝ . (1)求证：△ABC∽△AFD； (1)证明： ∵∠DBC＝∠BAF， ∴∠DBC＋∠ABF＝∠BAF＋ ∠ABF. ∴∠ABC＝∠AFD. 又 ∵ ＝ ， ∴△ABC∽△AFD. (1)证明： ∵∠DBC＝∠BAF， ∴∠DBC＋∠ABF＝∠BAF＋ ∠ABF. ∴∠ABC＝∠AFD. 又∵ ＝ ， ∴△ABC∽△AFD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (2)若AD＝2，AB＝4，AC＝5，求AF的长. (2)解：由(1)知 △ABC∽△AFD， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AF ＝ . (2)解：由(1)知 △ABC∽△AFD， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AF ＝ . 9. (2025·周口期中)如图，在四边形ABCD中， AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝ ∠DBC， ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 三阶　构造“A”字型或“8”字型相似 [技巧点拨]当题目中出现线段等分点或者相交线段 的比例关系时，常通过作平行线构造“A”字型或 “8”字型相似解题；当题中出现直角三角形求线段 长时，可考虑作垂线构造相似的直角三角形求解. 10. 构造法作平行线如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，ED，CB的延长线相交于点F. 若BD＝CE，求证： ＝ . 证明：如图，过点D作DM∥AC交FC于点M. ∵DM∥AC， ∴△BDM∽△BAC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∵BD＝CE， ∴ ＝ . ∵DM∥CE， ∴∠C＝∠FMD，∠FEC＝∠FDM. ∴△FCE∽△FMD. ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴∠C＝∠FMD，∠FEC＝∠FDM. ∴△FCE∽△FMD. ∴ ＝ . ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 11. 构造法作垂线如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的☉O交AE于点F，求弦EF的长. 解：如图，过点O作OH⊥EF于点H. 由勾股定理 得AC＝ ＝4. ∵DE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠ADE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 又 ∵∠CAB＝∠DAE， ∴△ACB∽△ADE. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DE＝6. ∴AE＝ ＝10. ∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED， ∴△EHO∽△EDA. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得EH＝ . ∵OH⊥EF， ∴EF＝2EH＝ .(也可连接DF 构造相似三角形 求解) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 $