第27章 专题8 比例式、等积式的3种证明思路（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十七章“相似”专题，核心讲解比例式与等积式的三种证明思路，通过中考真题例题导入，衔接相似三角形判定等前置知识，为复杂几何证明搭建学习支架。 其亮点在于以中考真题为载体，通过三点定型法、等积代换法等思路培养学生几何直观与推理意识，如例3通过两次相似证等积式，强化数学语言表达。助力学生掌握证明逻辑，教师可高效开展专题教学。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十七章　相似 专题8　比例式、等积式的3种证明思路 思路一　三点定型法 例1：(2025·亳州谯城区期末)如图，四边形ABCD为 平行四边形，E为边AD上一点，连接BE，交对角 线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE. (1)求证： ＝ ； (1)证明： ∵四边形ABCD为 平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAF＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠EAF＝∠ABE. ∵∠AEF＝∠BEA， ∴△AEF∽△BEA. ∴ ＝ . (2)若AE＝2，EF＝1，AF＝ ，求CF的长. 例1：(2025·亳州谯城区期末)如图，四边形ABCD为 平行四边形，E为边AD上一点，连接BE，交对角 线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE. (2)解：由(1)知 ＝ ， ∵AE＝2，EF＝1， ∴ ＝ . ∴BE＝4. (2)解：由(1)知 ＝ ， ∵AE＝2，EF＝1， ∴ ＝ . ∴BE＝4. ∴BF＝BE－EF＝3. ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF. ∴BF＝BE－EF＝3. ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF. ∴ ＝ ＝ . ∵AF＝ ， ∴CF＝3AF＝4. ∴ ＝ ＝ . ∵AF＝ ， ∴CF＝3AF＝4. 思路二　等线段代换法 例2：(2025·绍兴柯桥区期末)如图，在△ABC中，F是AB的中点，DF∥AC，交BC于点D，G为BD上一点，连接AG，交DF于点E. (1)求证： ＝ ； (1)证明： ∵DF∥AC， ∴ ＝ ， ＝ . ∵F是AB的中点， ∴BF＝FA. ∴BD＝CD. ∴ ＝ . (2)若BG＝GD，AC＝9，求DE的长. 思路二　等线段代换法 例2：(2025·绍兴柯桥区期末)如图，在△ABC中，F是AB的中点，DF∥AC，交BC于点D，G为BD上一点，连接AG，交DF于点E. (2)解： ∵BG＝GD，BD＝CD， ∴ ＝ . ∵DF∥AC， ∴△EGD∽△AGC. ∴ ＝ ＝ . 又 ∵AC＝9， ∴DE＝3. 思路三　等比(或等积)代换法 例3：如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点 D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E，F分别 是垂足，连接EF. 求证：AF·AD＝AE·AB. 证明： ∵∠ACB＝90°，CF⊥AD， ∴∠ACD＝∠AFC. 又∠CAD＝∠FAC， ∴△ACD∽△AFC. ∴ ＝ . ∴AC2＝AF·AD. 同理可证△ACE∽△ABC， ∴ ＝ ，即AC2＝AE·AB. ∴AF·AD＝AE·AB. 例4：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB， AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE，BC 于点F，G，且AD∶AC＝DF∶CG. 求证： (1)AG平分∠BAC； 证明：(1) ∵∠DAE＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠BAC＋ ∠B＋∠C＝180°，∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠C. 在△ADF和△ACG中，AD∶AC＝DF∶CG， ∠ADE＝∠C， ∴△ADF∽△ACG. ∴∠DAF＝∠CAG. ∴AG平分∠BAC. 证明：(1) ∵∠DAE＋∠AED＋∠ADE＝180°， ∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠C. 在△ADF和△ACG中，AD∶AC＝DF∶CG， ∠ADE＝∠C， ∴△ADF∽△ACG. ∴∠DAF＝∠CAG. ∴AG平分∠BAC. (2)EF·CG＝DF·BG. 证明：(2)在△AEF和△ABG中，∠AED＝∠B， ∠EAF＝∠BAG， ∴△AEF∽△ABG. ∴ ＝ .由(1)知△ADF∽△ACG. ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴EF·CG＝DF·BG. 证明：(2)在△AEF和△ABG中，∠AED＝∠B， ∠EAF＝∠BAG， ∴△AEF∽△ABG. ∴ ＝ .由(1)知△ADF∽△ACG. ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴EF·CG＝DF·BG. 例4：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD∶AC＝DF∶CG. 求证： [针对训练] 1. (2025·揭阳期末)如图，在▱ABCD中， AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，再过点 C作CF⊥CD交AE的延长线于点F. 求证：CA·CD＝CB·CF. 证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD. ∴∠CBD＝∠ADB. ∵AC⊥AD， ∴∠CAE＋∠DAE＝90°. 2 3 4 1 ∵AE⊥BD， ∴∠DAE＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠CAE. ∴∠CAE＝∠CBD. ∵BC∥AD，AC⊥AD， ∴AC⊥BC. ∵CF⊥CD， ∴∠ACB＝∠DCF＝90°. 2 3 4 1 ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCF＋∠ACD. ∴∠BCD＝∠ACF. ∴△BCD∽△ACF. ∴ ＝ . ∴CA·CD＝CB·CF. ∴CA·CD＝CB·CF. 2 3 4 1 2. (2025·滁州期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF·BA，CF与DE相交于点G. (1)求证：△DGF∽△BAC； 证明：(1)∵BC2＝BF·BA， ∴BC∶BF＝BA∶BC. 而∠ABC ＝∠CBF， ∴△BAC∽△BCF. ∵DE∥BC， ∴△BCF∽△DGF. ∴△DGF∽△BAC. 2 3 4 1 (2)当点E为AC的中点时，求证： ＝ . 证明：(2)如图，过点A作AH∥BC交CF的延长线 于点H. ∵DE∥BC， ∴AH∥DE. ∴ ＝ . ∵点E为AC的中点， ∴AH＝2EG. 证明：(2)如图，过点A作AH∥BC交CF的延长线 于点H. ∵DE∥BC， ∴AH∥DE. ∴ ＝ . 2. (2025·滁州期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF·BA，CF与DE相交于点G. 2 3 4 1 ∵AH∥DG， ∴△AHF∽△DGF. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∵AH∥DG， ∴△AHF∽△DGF. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∵点E为AC的中点， ∴AH＝2EG. 2 3 4 1 3. (2025·上海浦东新区模拟)如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC，BD 相交于点E，且AC⊥BD. (1)求证：CD2＝BC·AD； 证明：(1)∵AD∥BC，∠BCD ＝90°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°. 又∵AC⊥BD， ∴∠ACD＋∠ACB＝∠CBD＋ ∠ACB＝90°. 2 3 4 1 ∴∠ACD＝∠CBD. ∴△ACD∽△DBC. ∴ ＝ ，即CD2＝BC·AD. 2 3 4 1 (2)点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点 G，如果∠BAF＝∠DBF，求证： ＝ . 证明：(2)方法一： ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF. ∵∠BAF＝∠DBF， ∴∠ADB＝∠BAF. ∵∠ABG＝∠DBA， ∴△ABG∽△DBA. 证明：(2)方法一： ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF. 3. (2025·上海浦东新区模拟)如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC，BD 相交于点E，且AC⊥BD. 2 3 4 1 ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ，AB2＝BG·BD. ∴ ＝ ＝ ＝ . 方法二： ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF. ∵∠BAF＝∠DBF， ∴∠ADB＝∠BAF. ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ，AB2＝BG·BD. ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵∠BAF＝∠DBF， ∴∠ADB＝∠BAF. ∵∠ABG＝∠DBA， ∴△ABG∽△DBA. 2 3 4 1 ∵∠ABG＝∠DBA， ∴△ABG∽△DBA. ∴ ＝()2＝ .而 ＝ ， ∴ ＝ . ∵∠ABG＝∠DBA， ∴△ABG∽△DBA. ∴ ＝()2＝ .而 ＝ ， ∴ ＝ . 方法二： ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF. ∵∠BAF＝∠DBF， ∴∠ADB＝∠BAF. 2 3 4 1 4. (2025·淮北期末)如图，在Rt△ABC中，CD是斜 边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的 延长线交于点E. 求证： (1)△AED∽△CBM； 证明：(1)如图，∵△ABC是直 角三角形， ∴∠A＋∠ABC＝90°. 2 3 4 1 ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，即∠MCB＋ ∠ABC＝90°. ∴∠A＝∠MCB. ∵CD⊥AB， ∴∠2＋∠DMB＝90°. 2 3 4 1 ∵DH⊥BM， ∴∠1＋∠DMB＝90°. ∴∠1＝∠2. 又∵∠ADE＝90°＋∠1，∠CMB＝90°＋∠2， ∴∠ADE＝∠CMB. ∴△AED∽△CBM. ∵DH⊥BM， ∴∠1＋∠DMB＝90°. ∴∠1＝∠2. 又∵∠ADE＝90°＋∠1， ∠CMB＝90°＋∠2， ∴∠ADE＝∠CMB. ∴△AED∽△CBM. 2 3 4 1 (2)AE·CM＝AC·CD. 证明：(2)∵△AED∽△CBM， ∴AE∶CB＝AD∶CM. ∴AE·CM＝AD·CB. ∵△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高， ∴易证△ACD∽△CBD. ∴AC∶CB＝AD∶CD. ∴AC·CD＝AD·CB. ∴AE·CM＝AC·CD. 证明：(2)∵△AED∽△CBM， ∴AE∶CB＝AD∶CM. ∴AE·CM＝AD·CB. ∵△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高， ∴易证△ACD∽△CBD. ∴AC∶CB＝AD∶CD. ∴AC·CD＝AD·CB. ∴AE·CM＝AC·CD. 4. (2025·淮北期末)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E. 求证： 2 3 4 1 $