重点题型专题 4 相似三角形中比例式和等积式的证明（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册相似三角形中比例式和等积式的证明，通过三点定型法、等线段代换法、等比代换法三类题型，结合具体例题搭建从基础判定到复杂证明的学习支架，帮助学生衔接相似三角形性质与判定的前后知识。 其亮点在于以典型例题为载体，通过规范的证明步骤培养学生的推理意识，借助图形观察发展几何直观（数学眼光），用严谨的数学语言表达逻辑关系（数学语言）。例如三点定型法例题通过公共角和直角条件推导三角形相似，帮助学生掌握证明思路，既提升学生逻辑推理能力，又为教师提供层次分明的教学资源。

初中数学 九年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十七章　相似 重点题型专题 4　相似三角形中比例式和等积式的证明 类型1　三点定型法 若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，对四条线段 进行梳理，利用三点定型法确定出两个三角形，通过证明这两 个三角形相似得到要证明的结果. 上一页 下一页 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点 E. 求证：BD·BC＝BE·BA. 证明：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC. ∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠BDA＝90°. ∵∠B＝∠B，∴△BCE∽△BAD， ∴ ＝ ，∴BD·BC＝BE·BA. 1 2 3 4 上一页 下一页 类型2　等线段代换法 当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，可以通过证明三角形相似得到成比例线段，再利用相等线段代换得到结果. 1 2 3 4 上一页 下一页 2. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E， ∠ADB＝∠ACB. 求证： ＝ .　 证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB. ∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACB. ∵∠BAE＝∠CAB，∴△EAB∽△BAC， ∴ ＝ ，∴ ＝ .又∵AB＝AD，∴ ＝ . 1 2 3 4 上一页 下一页 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E， AF⊥CD于点F，连接EF，AC. 求证： （1）△ABE∽△ADF； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△ABE∽△ADF. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E， AF⊥CD于点F，连接EF，AC. 求证： （2）CD·EF＝AC·AE. 证明：（2）由（1），知△ABE∽△ADF， ∴ ＝ ，∴ ＝ .∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，∴ ＝ . ∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD＝90°， ∴∠EAF＋∠BAE＝90°. 1 2 3 4 上一页 下一页 ∵∠AEB＝90°，∴∠B＋∠BAE＝90°， ∴∠EAF＝∠B，∴△AEF∽△BAC，∴ ＝ . ∵AB＝CD，∴ ＝ ， 即CD·EF＝AC·AE. 1 2 3 4 上一页 下一页 类型3　等比（等积）代换法 当比例式或等积式无法通过三角形相似得到时，可以证明两对 三角形相似，得到成比例线段，再利用等比例或等积代换得到 结果. 1 2 3 4 上一页 下一页 4. （2024·合肥包河区期末）如图，已知在△ABC中，点D在 边BC上，∠ADE＝∠ABC，∠EAF＝∠FDC，DE与AC交于 点F. （1）求证： ＝ ； 证明：（1）∵∠EAF＝∠FDC，∠AFE＝∠CFD， ∴∠E＝∠C. ∵∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ，∴ ＝ . 1 2 3 4 上一页 下一页 4. （2024·合肥包河区期末）如图，已知在△ABC中，点D在 边BC上，∠ADE＝∠ABC，∠EAF＝∠FDC，DE与AC交于 点F. （2）连接BF，如果AB2＝AF·AC，求证：AD·BC＝AE·BF. 证明：（2）∵AB2＝AF·AC，∴ ＝ . ∵∠FAB＝∠BAC，∴△AFB∽△ABC， ∴ ＝ .由（1），知 ＝ ，∴ ＝ ， ∴AD·BC＝AE·BF. 1 2 3 4 上一页 下一页 谢谢观看 $