第27章 专题7 相似模型（二）一“一线三等角”模型（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“相似”专题中的“一线三等角”模型，通过模型解读明确核心结论，再以一阶认识模型、二阶应用模型、三阶构造模型为支架，构建从基础理解到综合应用的学习脉络。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过推理过程发展数学思维，用符号表达强化数学语言。如等边三角形中利用角关系证相似、构造辅助线解决坐标系问题，分层例题助力学生提升模型应用能力，为教师提供系统教学资源。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·RJ 第二十七章　相似 专题7　相似模型（二）一“一线三等角”模型 模型解读 已知：如图①②③中，点C在BD上，∠B＝ ∠ACE＝∠D. 结论：△ABC∽△CDE. 一阶　认识模型 1. 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上 的一点，且CB⊥BE. 已知AB＝8，AC＝6，DE ＝4，则线段BD的长为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，P为AD 上的一点，且满足∠BPC＝∠A＝∠D. 求证： △ABP∽△DPC. 证明： ∵∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，∠APB＋ ∠A＋∠ABP＝180°，∠BPC＝∠A， ∴∠ABP＝∠DPC. 又 ∵∠A＝∠D， ∴△ABP∽△DPC. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 二阶　应用模型 3. (2025·泉州洛江区期中)如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠ADE＝60°. (1)求证：△ABD∽△DCE； (1)证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠B＝∠ADE. ∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE ＋∠EDC， ∴∠BAD＝∠EDC. ∴△ABD∽△DCE. (1)证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠B＝∠ADE. ∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE ＋∠EDC， ∴∠BAD＝∠EDC. ∴△ABD∽△DCE. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)若BD＝2，CD＝4，求AE的长. 3. (2025·泉州洛江区期中)如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠ADE＝60°. (2)解： ∵△ABD∽△DCE， ∴AB∶CD＝BD∶CE. ∵BD＝2，CD＝4， ∴AB＝AC＝BC＝BD＋CD＝6. ∴6∶4＝2∶CE. ∴CE＝ . ∴AE＝AC－CE＝6－ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC 延长线上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与 AD的延长线交于点F. 若CE＝2，求DF的长. 解： ∵四边形ABCD是正方形， AB＝4，CE＝2， ∴AD＝DC＝CB＝4， DE＝DC＋CE＝6， ∠EDF＝∠BCE. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°. ∴∠DEF＝∠CBE＝90°－∠CEB. ∴△DEF∽△CBE. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴DF＝3. ∴DF＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 如图，一次函数y＝x＋3的图象与坐标轴分别交 于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的 点，且∠OPC＝45°，AP＝ AB，求点C的坐标. 解：一次函数y＝x＋3中，令x＝0，则y＝3；令y ＝0，则x＝－3. ∴AO＝BO＝3. ∴△AOB是等腰直角三角形. ∴∠ABO＝∠BAO＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴AB＝3 . ∴AP＝ AB＝ ，BP＝AB－AP＝2 . ∵∠BPC＋∠OPC＝∠POA＋∠PAO，∠OPC＝ ∠PAO＝45°， ∴∠BPC＝∠POA. ∴△PAO∽△CBP. ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴ ＝ . ∴BC＝ . ∴OC＝OB－BC＝3－ ＝ . ∴点C的坐标为(0， ). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 三阶　构造模型 6. 如图，点A为反比例函数y＝－ (x＜0)图象上的 一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数 y＝ (x＞0)的图象交于点B，则 的值为(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一 点，且AE＝AB，若 ＝ ，求 的值. 解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB＝ 90°. ∵AE＝AB， ∴BF＝ BE. ∵∠ABC＝∠D＝∠AFB＝90°， ∴∠ABF＋∠CBD＝90°，∠C＋∠CBD＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴∠ABF＝∠C. ∴△ABF∽△BCD. ∴ ＝ . 又 ∵ ＝ ， ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴ ＝ . 又 ∵ ＝ ， ∴ ＝ . ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，已知 ∠ABC＝90°，点A(0，4)，B(3，0)，BC＝2.5， 求点C的坐标. 解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BDC ＝90°. ∵点A(0，4)，B(3，0)， ∴OA＝4，OB＝3. ∴AB＝ ＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∵∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠OAB＋∠OBA＝∠DBC＋∠OBA＝90°. ∴∠OAB＝∠DBC. 又∠AOB＝∠BDC＝90°， ∴△AOB∽△BDC. ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴DB＝2，DC＝1.5.则OD＝OB＋DB＝3＋2＝ 5. ∴点C的坐标为(5，1.5). ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴DB＝2，DC＝1.5. 则OD＝OB＋DB＝3＋2＝ 5. ∴点C的坐标为(5，1.5). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AB上，∠DEF＝∠B＝60°，FE⊥DF，求 的值. 解：如图，在BC的延长线上截取CM＝CD，连接 DM. 由平行四边形的性质可知∠DCM＝∠B＝ 60°，AB＝CD. ∴△CDM为等边三角形. ∴∠CMD＝∠B＝60°， CM＝CD＝MD. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∵∠BEF＋∠BFE＝120°，∠BEF＋∠MED＝ 120°， ∴∠BFE＝∠MED. ∴△BEF∽△MDE. ∴ ＝ . ∵FE⊥DF，∠DEF＝60°， ∴ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ . ∵FE⊥DF，∠DEF＝60°， ∴ ＝ . ∴ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $