23.1 一次函数的概念（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦一次函数的概念，涵盖定义、与正比例函数的区别联系及建模应用。通过回顾函数知识，结合登山气温变化、铁块质量与体积等实际情境问题，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解概念。 以生活实例为载体，如弹簧长度与所挂物体质量关系，抽象出一次函数模型，培养抽象能力与模型意识。通过对比辨析一次函数与正比例函数，发展推理意识，配套练习与易错题设计帮助学生夯实基础，提升教师教学效率。

23.1　一次函数的概念 1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式. 2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系. 3.会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题. 重点：一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式. 难点：从实际生活问题中建立一次函数模型. 知识链接：前面我们学习了函数，回顾一下相关知识. 创设情境——见配套课件 探究点：一次函数的概念 问题1：（教材P114问题）某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温. 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃. y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即y＝－6×2＋5＝－7（℃）. 问题2：（教材P114思考）下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ （1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm）的变化而变化. （2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化， （4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm）随x的变化而变化. 在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为（1）m＝7.9V；（2）h＝0.5n；（3）m＝h－105；（4）y＝－5x＋50. 上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 概念引入：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 【对应训练】教材P115练习第1题. （教材P115例）一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm. （1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm. 因此，y关于x的函数解析式为y＝2x＋12. （2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22. 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm. 【对应训练】教材P115练习第2题. 1.下列函数中不是一次函数的是（　C　） A.y＝x B.y＝2x－1 C.y＝ D.y＝1－0.5x 2.以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（　C　） A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝ 3.某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共1000元，另外每册收取材料费4元，则总收费y与制作纪念册的册数x的函数关系式为　y＝4x＋1000　，该函数　是　（填“是”或“不是”）一次函数. 4.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系； （2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系； （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池内有水ym3. 解：（1）由题意，得y＝60x，y是x的一次函数，也是正比例函数. （2）由题意，得y＝πx2，y不是x的一次函数，也不是正比例函数. （3）由题意，得y＝5x＋15，y是x的一次函数，不是正比例函数. 5.[高频易错]已知关于x的函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3. （1）m取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 解：（1）∵函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3是关于x的一次函数，∴｜m｜＝1，m＋1≠0.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数是关于x的一次函数. （2）由（1）知m＝1，∵该函数是关于x的正比例函数，∴n－3＝0.∴n＝3.∴当m＝1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $