23.3 一次函数与方程、不等式（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦第二十三章“一次函数与方程（组）、不等式”，引导学生理解三者转化关系及本质联系。课堂以“数学王国家庭聚会”情境导入，通过合作探究分两阶段展开，先结合一次函数图象探究与一元一次方程、不等式的关系，再延伸至二元一次方程（组），搭建递进式学习支架。 资料突出数形结合思想，借助函数图象解释方程解、不等式解集，培养学生几何直观。融入气球上升等实际问题，发展模型意识，习题设计有层次，从练一练到典例精析再到当堂反馈，助力学生用数学思维分析问题，提升推理能力与应用意识。

第二十三章 一次函数 23.3　一次函数与方程（组）、不等式 【素养目标】 1.使学生理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系. 2.使学生能初步运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过函数图象求方程（组）的解、不等式的解集，利用一次函数的图象和性质解决实际问题. 3.掌握用图象求解方程（组）、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用. 重点：借助一次函数图象求方程（组）的解或不等式的解集. 难点：借助一次函数与方程（组）、不等式之间的关系，解决实际问题. 【情境导入】 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了 “x + y = 5”. 【合作探究】 探究点一：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 思考：如图，一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解吗？ 问题：我们知道任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a≠0）的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗？ 归纳总结：　 [练一练] 1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____. 2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，_____). 思考：如图，利用一次函数 y = 2x－1 的图象，你能得出函数值大于 0 时 x 的取值范围吗？函数值小于 0 时呢？ 思考：由此，你能分别得出一元一次不等式 2x－1＞0 与 2x－1＜0 的解集吗? 归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系 　 [典例精析] 例1 画出函数 y = －3x + 6 的图象，结合图象求： (1) 不等式 －3x + 6 > 0 和 －3x + 6 < 0 的解集； (2) 当 x 取何值时，y < 3? [练一练] 3. 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示. (1)关于 x 的方程 kx + b = 9 的解为　 ； (2)关于 x 的不等式 kx + b < 9 的解集为 . 探究点二：二元一次方程（组）与一次函数 思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 从式子（数）角度看： y = 2x－1 对应一次函数 y = 2x－1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y) 都是方程 2x－y = 1 的解，以方程 2x－y = 1 的解 (x，y) 为坐标的点都在这条直线上. 思考：对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 观察 在坐标系中分别画出两条直线 y＝2x－l 和 y = −x + . 1.它们的交点坐标_____________. 2.方程组 的解是____________. 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. [归纳总结] 一次函数与二元一次方程组的关系 “数”的角度 “形”的角度 例1 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min. （1）分别写出表示两个气球所在位置的高度单位y（单位：m）关于上升时间x（单位：s）的函数解析式； （2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 观察函数图象，直接回答下列问题： （1）在什么时候，1 号气球比 2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比 1 号气球高？ 例2 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标. 例3 如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3). (1) 求 m，a 的值； (2) 根据图象，直接写出不等式 －x－1＞ax＋4 的解集. [练一练] 4. 如图，根据图中信息解答下列问题: (1)关于 x 的不等式 ax + b > 0 的解集是　 　； (2)关于 x 的不等式 mx + n < 1 的解集是　 　； (3)当 x 为何值时，y1≤y2? (4)当 x 为何值时，0＜y2＜y1? 当堂反馈 1.如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx＋b＞0的解集是（　　） A.x＞－2 B.x＞3 C.x＜－2 D.x＜3 第1题图 第2题图 2.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝　　；kx＋b＞0的解集为　　；kx＋b≤0的解集为　　. 3.已知关于x，y的二元一次方程组的解是则一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交点坐标为　　. 4.[高频易错]如图，已知直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，2）. （1）求m，n的值； （2）请结合图象直接写出不等式mx＋n＞x＋n－2的解集. 参考答案 【合作探究】 探究点一：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式　 [练一练] 答：1. －10 0 －10 2. 5 0 思考：函数值大于 0 时，x 的取值范围是 x＞0.5； 函数值小于 0 时，x 的取值范围是 x＜0.5. 思考：从函数值看：当 y = 2x－1的值大于(或小于) 0 时，求 x 的取值范围. 从函数图象看：确定直线 y = 2x－1 在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x 取值范围 2x－1＞0，则 x＞0.5 2x－1＜0，则 x＜0.5 [典例精析] 例1解：作出函数 y = －3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0). (1)由图象可知，不等式 －3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2； 不等式 －3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2； (2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3. [练一练] 3. 解：(1) x =－6　 (2)x > －6 探究点二：二元一次方程（组）与一次函数 例1 解：(1) 气球上升时间 x 满足 0≤x≤60. 对于 1 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x + 5. 对于 2 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = 0.5x + 15. (2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x 的某个值 (0≤x≤60)，函数 y = x + 5 和 y = 0.5x + 15 有相同的值 y. 由此可以列二元一次方程组 解这个方程组，得 这就是说，当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m. 这两条直线的交点坐标为 (20，25)，这说明当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m. （1）20 s 后，1 号气球比 2 号气球高. （2）0 ~ 20 s 时，2 号气球比 1 号气球高. 例2 解：因为直线 l1过点 (-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得 直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理 可求得直线 l2 的解析式为 y = - x + 3. 解方程组 得 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为 例3 解：(1)把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得， －m－1＝－3，解得 m＝2， ∴点 P 的坐标为 (2，－3)， ∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P， ∴ 2a＋4＝－3. 解得a＝ (2) 由图象得，不等式 －x－1＞ax＋4 的解集为 x＞2. [练一练]4. 解：(1) x＜2；(2)x＜0；(3)x≤1；(4)1＜x＜2. 当堂反馈 1.　A　2.　2　；　x＜2　；　x≥2　. 3.（－4，2）　. 4.解：（1）把P（1，2）代入y＝x＋n－2得1＋n－2＝2，解得n＝3； 把P（1，2）代入y＝mx＋3得m＋3＝2，解得m＝－1. ∴m＝－1，n＝3. （2）不等式mx＋n＞x＋n－2的解集为x＜1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $