23.4.2 选择方案（2）导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 选择方案（2） 教学目标： 1.会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想； 2.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法； 3.能运用分类讨论、数形结合等数学方法，提高解决实际问题的综合能力. 教学重点：理解不同方案的数学表达，掌握选择方案的策略方法，能将实际问题转化为一次函数模型； 教学难点：分析实际问题中参数变化的规律，建立合理的数学建模，准确比较哪一种方案更优惠. 活动一、探究新知1： 探究1.选择方案（租车费用问题） 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 问题1：共有几种租车方案？ 答：共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车； （3） 同时租甲种车和乙种车． 问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 答：租用甲种车：240÷45=5（辆），租用乙种车：240÷30=8（辆）. 所以单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 答：汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆. 问题4：要使6名教师至少在每辆车上有1名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 答：说明了车辆总数不会超过6，可以排除单独租乙种车的方案，所以租车的辆数只能为6． 活动二、典例分析 例1（教材P133例题） 问题：怎样租车？ 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案． 思考： 合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？ 租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用. 设租用x辆甲种客车，则租车费用y是x的函数， 即y= 400x+280(a-x) . 将已经确定的a的值带入，化简这个函数，得y= 120x+1 680 . （1）为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？ 45x+30(6-x)≥240 . （2）为使租车费用不超过2 300元，可以确定x的范围吗？ 120x+1 680≤2 300 . 可以得到x的取值范围： 4≤x≤5 . 结合前面所求出的x的取值范围，你能得出几种不同的租车方案？ 为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. 方案1：当x=4时，即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车， y=120×4+1 680=2 160（元）. 方案2：当x=5时，即租用5辆甲种汽车，1辆乙种汽车， y=120×5+1 680=2 280（元）. 所以应该选择方案1. 小结: 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 【练一练】 某土产公司组织20辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，并且丙种型号汽车车辆是甲种型号汽车车辆的2倍，根据下表提供的信息，解答以下问题. (1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； (3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并求出最大利润的值. 解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝20－3x； (2)由x≥3，y≥3，(20－x－y)≥3， 把y＝20－3x代入， 可得x≥3，y＝20－3x≥3， 20－x－(20－3x)≥3，可得， 又∵x为正整数， ∴x＝3,4,5.故车辆的安排有三种方案， 即：方案一：甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆； 方案二：甲种4辆，乙种8辆，丙种8辆； 方案三：甲种5辆，乙种5辆，丙种10辆. (3)设此次销售利润为W元， W＝8x·12＋6(20－3x)·16＋ 5· 2x · 10 ＝－92x＋1920 （x＝3,4,5） ∵k＜0， ∴W随x的增大而减小. ∴当x＝3时，W最大＝1 644(百元)＝16.44万元. 答：要使此次销售获利最大，应采用(2)中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元. 例2 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 解:（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意，得=100 ， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12-x）箱， 根据题意，得12-x≤x，解得x≥6， 设该公司需花费w元， 根据题意，得w=100x+80（12-x）=20x+960， ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大. ∴当x=6时，w有最小值=20×6+960=1080. 答：该公司最少需花费1080元． 例3 抗旱救灾行动中，江津、白沙两地要向中山和广兴每天输送饮用水，其中江津每天输出60车饮用水，白沙每天输出40车饮用水，供给中山和广兴各50车饮用水.由于距离不同，江津到中山需600元／车，到广兴需700元／车；白沙到中山需500元／车，到广兴需650元／车． 请你设计一个调运方案使总运费最低？此时总运费为多少元？ 解：设每天要从江津运x车到中山，总运费为y元．由题意可得 y=600x+700(60－ x)+500(50 －x)+650(x－10) =50x+60500. 由，得 ∴ ∵ k＝50＞0, y随x的增大而增大, ∴当x＝10时，y有最小值, y=61000. 答:从江津调往中山10车，从江津调往广兴50车，从白沙调往中山40车，从白沙调往广兴0车，可使总费用最省，为61000元． 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法, 其中正确的说法有   ①②③    ．（填序号） ①售2件时甲、乙两家售价一样； ②买1件时买乙家的合算； ③买3件时买甲家的合算； ④买1件时，售价约为3元. 随堂练习2 暑假老师带领该校“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票的6折优惠.”若全票为240元. (1)设学生数为x，甲旅行社收费为y1，乙旅行社收费为y2，则y1＝____240＋120x___，y2＝____144＋144x__. (2)当学生有____4___人时两个旅行社费用一样. (3)当学生人数_____大于4人______时甲旅行社收费较少. 随堂练习3 某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3 kg，乙种原料6 kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题： (1)生产A，B两种产品的方案有哪几种？ (2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润． 解：(1)根据题意得 解得18≤x≤20， ∵x是正整数，∴x＝18，19，20. 共有三种方案： 方案一：生产A产品18件、B产品12件； 方案二：生产A产品19件、B产品11件； 方案三：生产A产品20件、B产品10件． (2) 根据题意得y＝700x＋900(30－x) ＝－200x＋27 000， ∵－200＜0， ∴y随x的增大而减小． ∴当x＝18时，y有最大值， y最大＝－200×18＋27 000＝23 400. ∴利润最大的方案是方案一：生产A产品18件、B产品12件，最大利润为23 400元． 随堂练习4 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示: （1） 该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ （2）该厂如何生产获得最大利润？ （3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？ （注：利润=售价-成本） 分析：可用信息：①A、B两种型号的挖掘机共100台； ②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元； ③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出. 解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意知： 解得 37.5≤x≤40. ∵x取正整数, ∴x为38、39、40. ∴有三种生产方案：A型38台，B型62台； A型39台，B型61台； A型40台， B型60台. （2） 设获得利润为W（万元）， 由题意知：W=（250-200）x +（300-240）（100－x） =50x＋60（100－x） = －10x＋6000. ∴当x=38时，W最大=5620 （万元），即生产A型38台，B型62台时，获得利润最大. （3）由题意知：W=（50+m）x+60（100-x）= (m-10)x+6000 ∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ， 即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台； ②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等； ③当m＞10时，取x=40，W最大， 即A型挖掘机生产40台，B型生产60台. 活动四、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 选择方案（2） 教学目标： 1.会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想； 2.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法； 3.能运用分类讨论、数形结合等数学方法，提高解决实际问题的综合能力. 教学重点：理解不同方案的数学表达，掌握选择方案的策略方法，能将实际问题转化为一次函数模型； 教学难点：分析实际问题中参数变化的规律，建立合理的数学建模，准确比较哪一种方案更优惠. 活动一、探究新知1： 探究1.选择方案（租车费用问题） 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 问题1：共有几种租车方案？ 问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 问题4：要使6名教师至少在每辆车上有1名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 活动二、典例分析 例1（教材P133例题） 问题：怎样租车？ 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案． 思考： 合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？ 租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用. 设租用x辆甲种客车，则租车费用y是x的函数， 即y= . 将已经确定的a的值带入，化简这个函数，得y= . （1）为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？ . （2）为使租车费用不超过2 300元，可以确定x的范围吗？ . 可以得到x的取值范围： . 结合前面所求出的x的取值范围，你能得出几种不同的租车方案？ 为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由. 小结: 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 【练一练】 某土产公司组织20辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，并且丙种型号汽车车辆是甲种型号汽车车辆的2倍，根据下表提供的信息，解答以下问题. (1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； (3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并求出最大利润的值. 例2 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 例3 抗旱救灾行动中，江津、白沙两地要向中山和广兴每天输送饮用水，其中江津每天输出60车饮用水，白沙每天输出40车饮用水，供给中山和广兴各50车饮用水.由于距离不同，江津到中山需600元／车，到广兴需700元／车；白沙到中山需500元／车，到广兴需650元／车． 请你设计一个调运方案使总运费最低？此时总运费为多少元？ 活动三、随堂检测 随堂练习1 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法, 其中正确的说法有                    ．（填序号） ①售2件时甲、乙两家售价一样； ②买1件时买乙家的合算； ③买3件时买甲家的合算； ④买1件时，售价约为3元. 随堂练习2 暑假老师带领该校“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票的6折优惠.”若全票为240元. (1)设学生数为x，甲旅行社收费为y1，乙旅行社收费为y2，则y1＝                              ，y2＝                                . (2)当学生有                   人时两个旅行社费用一样. (3)当学生人数                   时甲旅行社收费较少. 随堂练习3 某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3 kg，乙种原料6 kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题： (1)生产A，B两种产品的方案有哪几种？ (2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润． 随堂练习4 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示: （1） 该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ （2）该厂如何生产获得最大利润？ （3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？ （注：利润=售价-成本） 活动四、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $