24.2 第1课时 方差（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“方差”核心知识点，通过射击选手成绩比较的情境导入，结合甜玉米产量问题的合作探究，引导学生经历离差、离差平方和到方差的概念形成过程，构建从实际问题到统计量应用的学习支架。 资料以真实情境激发兴趣，通过问题链引导学生用数学眼光观察数据波动，在概念推导中培养数学思维（推理与运算能力），习题设计层次分明，从基础计算到拓展应用，帮助学生形成数据观念，提升用数学语言分析解决实际问题的能力。

第二十四章 数据的分析 24.2　数据的离散程度 第1课时　方差 【素养目标】 1.理解离差平方和与方差概念的产生和形成的过程，体会方差在实际生活中的应用价值. 2.会求一组数据的方差，会根据计算结果比较两组数据的波动大小. 3.感悟到方差是一种描述数据离散程度的统计量，能根据方差的大小对实际问题做出评判. 重点：对离差平方和与方差意义的理解及应用，用样本方差估计总体方差. 难点：运用方差知识解决实际问题. 【情境导入】 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 【合作探究】 探究点：方差 问题 某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 思考：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 概念引入：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi－（i＝1，2，…，n）叫作xi关于平均数的离差或偏差. 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 概念引入：我们把（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2叫作这个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.把离差平方和的平均数叫作这组数据的方差.记作“s2”.方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ [典例精析] 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩了（单位：环）如表所示. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ [练一练] 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平 均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的. （1）6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7； （3）3 3 4 6 8 9 9； （4）3 3 3 6 9 9 9. [知识拓展] 若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 (1) 数据 x1－3，x2－3，x3－3，…，xn－3，平均数为 ，方差为 . (2) 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3，平均数为 ，方差为 . (3) 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn， 平均数为 ，方差为 . (4) 数据 2x1－3，2x2－3，2x3－3 ，…，2xn－3，平均数为 ，方差为 . [归纳总结] [练一练] 1. 在这次篮球联赛中，最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军，赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操，参加表演的女同学的身高 (单位:cm) 分别是： 九班 163 163 165 165 165 166 166 167 三班 163 164 164 164 165 166 167 167 哪个班拉拉队女同学的身高更整齐? （1）你是如何理解“整齐”的？ （2）从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐的？ [归纳总结] 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： 1.取一个适当的基准数 a 2.将原数据都减去 a，得到一组新数据 3.求新数据的方差 [练一练] 2. 若已知一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为，方差为 s2，那么，另一组数据 3x1－2，3x2－2，…，3xn－2 的平均数为 ，方差为 . 当堂反馈 1.下列各组数据中方差最大的一组是（　　） A.6，6，6，6，6 B.5，6，6，6，7 C.4，5，6，7，8 D.3，3，6，9，9 2.在方差计算公式s2＝[（x1－20）2＋（x2－20）2＋…＋（x10－20）2]中，数20表示这组数据的　 　. 3.定义：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么称这n个数据与平均数的差的平方和叫作这n个数据的离差平方和，记作d2＝（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2.数据1，2，3，4，5的离差平方和为　 　. 4.已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是　 　. 5.甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下： 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 2 2 0 1 乙命中的频数/次 1 3 1 0 （1）甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？ （2）谁的射击成绩波动较小？ 参考答案 【情境导入】 ＝8，＝8. ＝＝0.4， ＝＝3.2. 由＞可知，选择甲更合适. 【合作探究】 探究点：方差 问题分析：（1）计算出两组数的平均数，你有什么发现？ ＝7.537，＝7.515， 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. （2）画出甲、乙两种甜玉米的产量统计图. （3）观察（2）题图，你发现了什么？ 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 思考：当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 思考：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由（x1－）＋（x2－）＋…＋（xn－）＝x1＋x2＋…＋xn－n＝0可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 解：利用公式求出甲、乙两种甜玉米产量的两组数据的方差： ＝×[（7.65－7.537）2＋…＋（7.41－7.537）2]≈0.010. ＝×[（7.55－7.515）2＋（7.56－7.515）2＋…＋（7.49－7.515）2]≈0.002. 由＞，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.∴这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 思考：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. [典例精析]例1 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为＝＝8.7，＝＝8.6. 两名运动员射击成绩的方差分别为 ＝＝2.41， ＝＝1.04. 由＞可知，乙射击运动员的发挥更稳定. [练一练] 1.答：(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差： (3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： . [知识拓展] 分析：(1) 平均数： 方差： 同理：(2) 平均数： + 3； 方差：s2 . (3) 平均数： 方差： 同理：(4) 平均数：3 － 3 ； 方差：4s2. [归纳总结] [练一练] 1. 解：取 a = 165，将所有数据都减去 165，得 九班新数据为： －2，－2， 0， 0，0，1，1，2； 三班新数据为： －2，－1，－1，－1，0，1，2，2. 求两组新数据的方差： [练一练] 2.3－2 9s2 当堂反馈 1.D　 2.　平均数　 3.　10　 4.　2.8　 5.解：（1）＝×（7×2＋8×2＋10）＝8（环），＝×（7＋8×3＋9）＝8（环）；＝×[2×（7－8）2＋2×（8－8）2＋（10－8）2]＝1.2，＝×[（7－8）2＋3×（8－8）2＋（9－8）2]＝0.4， ∴甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2，乙射击成绩的平均数是8，方差是0.4. （2）∵＝，＞，∴乙的射击成绩波动较小. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $