21.3.2 第1课时 菱形的定义与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦菱形的定义、性质及面积计算，通过复习平行四边形和矩形，以“平行四边形边的变化”设问，建立与已有知识的联系，搭建学习支架引导学生逐步深入。 注重学生探究过程，通过小组测量、折纸等活动发展推理能力与几何直观，结合菱形花坛等实际情境培养应用意识，典例与分层练习设计帮助学生掌握重点，提升分析解决问题能力，落实数学眼光、思维与语言的核心素养。

第21章 四边形 21.3.2　菱形 第1课时　菱形的定义与性质 【素养目标】 1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系. 2.经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力. 3.能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解决问题的能力. 重点：菱形性质定理的理解和应用. 难点：菱形性质定理的探究与证明. 【复习导入】 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形. 提问：那么当平行四边形边发生变化时，会得到什么特殊平行四边形呢？ 【合作探究】 探究点1: 菱形的定义 思考：如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 同学们，能给这个图形下个定义吗？ 知识要点： 菱形的定义： 问题：菱形也是常见的图形，能否举出生活中菱形形象的例子？ 归纳总结： 韦恩图： 探究点2: 菱形的性质 思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？ (1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法. 活动： 准备素材：直尺、量角器、课本等. (1) 请同学们以小组为单位，测量书本中菱形的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. (2) 根据测量的结果,你有什么猜想？ 证一证 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； 求证：(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB， ∠ABD =∠CBD. 知识要点： 菱形的性质 对边平行相等；对角相等；对角线相互平分 边： 对角线： 几何语言描述： 思考：请同学们拿出剪好的菱形纸片，折一折，观察并思考.  菱形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 菱形的性质：对称性： 图形， 对称轴： 条，是________所在的直线. 还能得出菱形的什么结论？ 典例精析 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长． 例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF. 归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角. 练一练 1.如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 第1题图 第2题图 2.如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_____cm. 探究点3: 菱形的面积 问题1：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? 思考： 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 问题2： 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. 总结： 1.菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 2.菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 例3 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后两位) 和花坛的面积(结果保留小数点后一位) . 练一练 3. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为(　　) A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm 当堂反馈 1.如图，在▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，添加下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是(　　) A.AB＝CD B.AB⊥BC C.AC＝BD D.AC⊥BD 2.如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1的度数为(　　) 第2题图 A.30° B.25° C.20° D.15° 3.[教材变式]在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为　　. 4.[教材变式]如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，BD＝5，则菱形ABCD的周长是　　. 第4题图 5.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF. 参考答案 探究点2: 菱形的性质 证一证 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD. (2) ∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD. 典例精析 例1 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝BD. ∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm， ∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在 Rt△ABO 中，由勾股定理得 ∴ 菱形的周长为 4AB＝4× 3 ＝ 12 (cm)． 例2 证明：连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD， ∴ ∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF. ∴ AE＝AF. 练一练1.C 2.6 探究点3: 菱形的面积 问题1：能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC · AE. 问题2： 菱形的面积还可以利用4个全等的三角形面积的和来计算. 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO +AC·DO= AC·(BO + DO) = AC·BD. 例3 解：设AC，BD相交于点O. ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°. 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10，BO＝＝＝10. ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m），BD＝2BO＝20≈34.64（m）. 花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝AC·BD＝200≈346.4（m2）. 练一练 3. 如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为(　　) A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm B 当堂反馈 1.　D　 2.D　 3.　30　 4.　20　. 5.证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD. ∵点E，F分别为边CD，AD的中点， ∴CD＝2DE，AD＝2DF. ∴DE＝DF. 又∵∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF(SAS). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $