21.3.1 第1课时 矩形的定义与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦矩形的定义、性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质，通过平行四边形的不稳定性情境导入，引导学生观察角变为直角时的特殊图形，建立平行四边形与矩形的联系，搭建新旧知识过渡的学习支架。 资料以“情境导入—合作探究—典例精析—当堂反馈”为主线，通过测量生活中矩形物品的动手活动培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过性质证明过程发展推理能力（数学思维），结合生活实例与分层练习提升应用意识（数学语言），助力学生经历知识形成过程，落实核心素养。

第21章 四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.1　矩形 第1课时　矩形的定义与性质 【素养目标】 1.掌握矩形的概念和性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，应用矩形的性质进行有关证明与计算. 2.探索并能证明矩形的性质定理，理解平行四边形与矩形的区别与联系. 3.通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程，进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力. 重点：掌握矩形的性质定理. 难点：利用矩形的性质进行证明和计算. 【情境导入】 根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？ 【合作探究】 探究点1: 矩形的性质 同学们，能给这个图形下个定义吗？ 矩形的定义： 矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形形象的例子？ 归纳总结： 韦恩图： 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 提示：能否类比平行四边形，从边，角，对角线的角度研究矩形的特殊性质. 活动： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. (2) 根据测量的结果,你有什么猜想？ 证一证 (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 知识要点 矩形的性质： 对边平行相等；对角相等；对角线相互平分. 角： 对角线： 几何语言描述： 思考：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 典例精析 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形ABCD的对角线的长. 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 活动 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. 问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________. 证一证 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 要点归纳：直角三角形的性质：直角三角形斜边上的_______等于斜边的________. 典例精析 例2 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； (2)求证：EF垂直平分AD. 归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 例3 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 方法总结:在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 练一练 2. 如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =_____cm. 当堂反馈 1.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　) 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A.∠CAD＝∠CAB B.OA＝OD C.OA＝AB D.AC所在直线为矩形ABCD的对称轴 3.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面积等于　　. 第3题图 4.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若AB＝6，则CD＝　　. 5.[高频易错]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E.若∠OCD＝56°，则∠EAB＝　　°. 第5题图 6.[教材变式]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若点E是AO的中点，点F是OD的中点.求证：BE＝CF. 参考答案 【合作探究】 探究点1: 矩形的性质 证一证 (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°， 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. 典例精析 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分.∴OA＝OB. 又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形.∴OA＝AB＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 练一练1. 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 探究点2: 直角三角形斜边上的中线的性质 证一证 证明：延长BO至D，使OD＝BO，连接AD，CD. ∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. ∴AC＝BD.∴BO＝BD＝AC. 例2 解：(1) ∵ AD 是△ABC 的高， E、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 . (2) 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 例3 解：连接 EG，DG. 由题意知 ∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝BC，DG＝BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 练一练2. 答：(1) 6 (2) 10 5 当堂反馈 1.　A 2.　B　 3.　4　. 4.　3　. 5　34　 6. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. ∴OA＝OC＝OB＝OD. 又∵点E是AO的中点，点F是OD的中点， ∴OE＝OF. ∵∠BOE＝∠COF， ∴△OBE≌△OCF(SAS). ∴BE＝CF. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $