20.2 第1课时 勾股定理的逆定理（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“勾股定理的逆定理”，通过复习“两个角互余的三角形是直角三角形”，引导学生思考边的关系能否判定直角三角形，衔接勾股定理的正向与逆向，搭建从角到边的学习支架。 资料通过13个结绳子的动手操作、实例观察与猜想证明培养几何直观，体现数学眼光，证明过程与推理训练发展推理能力，勾股数应用及分层习题（典例、变式、反馈）强化模型意识，助力学生理解与运用。

第20章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 【素养目标】 1. 理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形。(重点) 2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.(难点) 3. 会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律。 【复习导入】 如何判定一个三角形是直角三角形？ 如果 ，那么 就是一个直角三角形， 为直角。 即有如下的直角三角形的判定方法： 两个角互余的三角形是直角三角形。除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的 平方和等于斜边长的平方，反过来，如果三角形的三边长 满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这 个三角形是不是直角三角形呢？ 【合作探究】 探究点1：勾股定理的逆定理 如图给出了确定直角的一种方法： 把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个 结间距， 4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木 桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。 这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 这个三角形三边有什么关系吗？ 观察：(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位： ) 画三角形： ① 2.5, 6, 6.5; ② 4, 7.5, 8.5. (2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数。 (3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想。 猜想 如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证一证】 已知：如图， 的三边长 ，满足 . 求证： 是直角三角形。 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 满足 那么这个三角形是直角三角形。 【典例精析】 例1 判断由线段 组成的三角形是不是直角三角形： (1) ; (2) . 【变式题1】 若 的三边 满足 ，试判断 的形状。 【变式题2】 (1) 若的三边 ，且 , ，试说明是直角三角形。 (2) 若的三边 满足 . 试判断 的形状。 探究点2：勾股数 如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 满足 的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 7, 24, 25; 8, 15, 17; 9, 40, 41; 10, 24, 26 等等。 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 ( 为正整数), 得到一组新数，这组数同样是勾股数。 【练一练】 1.下列各组数是勾股数的是( ) A.6,8,10 B.7,8,9 C.0.3,0.4,0.5 D. 当堂反馈 1. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6, 8, 10 B.0.3,0.4,0.5 C.9,41,47 D. 2. 在 中， ，则这个三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长为 ，且 ， ，试判断 的形状，并说明理由。 参考答案 探究点1：勾股定理的逆定理 【证一证】 证明：作 ，使 , . 根据勾股定理， 因为 ，所以 中在 和 中 所以 (SSS). 因此 ，即 是直角三角形。 例1 解： (1) 因为 , ，所以 ，根据勾股定理的逆定理，由线段 组成的三角形是直角三角形。 ，所以 . 【变式题1】 解： 设 , ,是直角三角形，且是直角。 【变式题2】(1) 解： , . 又 , , 是直角三角形。 (2)解： , . 即 . . 是直角三角形。 探究点2：勾股数 【练一练】1. A. 当堂反馈 1. A. 2. B. 3. 解：是直角三角形。 理由： , . 又 , . 是以为斜边的直角三角形。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $