第21章 数学活动：黄金矩形与剪拼正方形（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案围绕“黄金矩形与剪拼正方形”展开，通过观察图片中和谐美观的矩形导入，引导学生从折叠操作入手，结合勾股定理推导黄金矩形宽长比，构建从直观感知到逻辑推理的学习支架。 资料融合数学美学与古代“出入相补”思想，通过动手折叠、剪拼操作培养几何直观与空间观念，典例与反馈题强化推理意识和应用能力，助力学生发展创新意识与实践能力。

第21章 四边形 数学活动　黄金矩形与剪拼正方形 【素养目标】 1.理解黄金矩形原理，掌握剪拼正方形的方法. 2.体会数学与美学、实践的联系，提升动手与推理能力. 3.感悟古代数学思想，激发文化探究兴趣. 重点：黄金矩形验证、正方形剪拼操作. 难点：黄金矩形推导、剪拼方案创新. 【复习导入】 观察这些图片形中的矩形，有没有发现它们的形状看起来特别和谐、美观？ 【合作探究】 活动1：黄金矩形 宽与长的比是 (约为 0.618) 的矩形叫作黄金矩形. 黄金矩形给我们以协调、匀称的美感. 典例精析 例1  下面我们做一次折叠活动： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开. 第二步：如图②，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平. 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图③中所示的AD处. 第四步：展平纸片，如图④，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？ 　 归纳总结：依据勾股定理计算边长，通过比例推导，验证黄金矩形满足宽、长比为，理解其美学与数学融合性. 活动2：剪拼正方形 例2 我国是最早了解勾股定理的国家之一.魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”. 归纳总结：“出入相补法”是古代数学智慧，借图形变换证明勾股定理，体现数学推导的简洁与巧妙，可迁移用于图形剪拼. 当堂反馈 1.如图，当以黄金矩形ABCD的宽AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF时， 若AF＝－1，则AD的长为（　　） A.2 B.4 C.2－2 D.3＋ 2.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AB，CD的中点E，F，连接EF；以点E为圆心，以ED为半径画弧，交BA的延长线于点G；作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（　　） A.矩形BCHG B.矩形EFCB C.矩形ADHG D.矩形EFHG 第2题图 第3题图 3.“出入相补”原理是中国古代几何学基本原理之一，由魏晋时期的数学家刘徽提出的，运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就.如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD，BEFG，AHIG均为正方形. （1）若S正方形AHIG＝10，AE＝4，则S△GFI＝（　　） A. B.14 C.6 D.3 （2）若AH＝13，BG＝12，则△AJD与△GIF的面积之和等于　　. 参考答案 【合作探究】 典例精析 例1  解：∵正方形BCNM的边长为2，正方形BCNM沿AF对折，∴AC＝NC＝1. 在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1，∴AB＝＝. ∵AD＝AB＝，∴CD＝AD－AC＝－1.∴＝. ∴矩形BCDE就是黄金矩形. 例2 解：如图所示，连接大正方形的一条对角线DE， 可知S梯形ACDE＝S△ABE＋S△BDE＋S△DBC， 其中，S梯形ACDE＝（a＋b）（a＋b），S△ABE＝ab，S△BDE＝c2，S△DBC＝ab， 代入可得（a＋b）2＝ab＋c2＋ab，即a2＋b2＝c2. 当堂反馈 1.　A　 2.　C　 3.（1）A　（2） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $