21.3.1 第2课时 矩形的判定（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“矩形的判定”，通过复习矩形定义与性质，结合工人师傅做门窗的实际问题，引导学生思考判定方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以“猜想-证明-应用”为主线，通过两个探究点展开，培养学生推理意识与几何直观。典例精析与分层练习结合，当堂反馈巩固知识，助力学生用数学思维解决问题，提升分析与应用能力。

第21章 四边形 21.3.1　矩形 第2课时　矩形的判定 【素养目标】 1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法. 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力. 3.使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力. 重点：矩形判定定理的理解与应用. 难点：矩形的判定定理与性质定理的区别和联系. 【复习导入】 问题1：矩形的定义是什么？ 问题2：矩形有哪些性质？ 思考：工人师傅在做门窗时，为了确保所做的门窗是矩形，需要测量哪些数据呢？ 想一想：怎样判断四边形 ABCD 是矩形？ 【合作探究】 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 问题1：上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？ 证一证： 已知：如图，在▱ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：▱ABCD 是矩形. 知识要点： 矩形的判定定理： 几何语言描述： 典例精析 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. 练一练 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD 2. 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD， ∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 问题2： 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗? 即四个角都是直角的四边形是矩形吗? 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形? 想一想 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 证一证 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 知识要点： 矩形的判定定理： 几何语言描述： 典例精析 例2 如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形. 练一练 3. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． 当堂反馈 1.如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) 第1题图 A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D.∠ABD＝∠CBD 2.下列命题是真命题的是(　　) A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.一组对边平行且相等的四边形是矩形 C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 3.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是　　. 第3题图 4.[教材变式]如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，则该四边形是　　.若∠AOB＝60°，则AB∶AC＝　　. 5.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (2)只需添加一个条件，即　　，可使四边形ABCD为矩形，请说明理由. 参考答案 【合作探究】 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 证一证： 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义). 典例精析例1 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等)， AO = BO = CO = DO (矩形的对角线互相平分). ∵ AE = BF = CG = DH， ∴ OE = OF = OG = OH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，且 EG = FH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形. 练一练1. A 2. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC，OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 证一证 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. 典例精析 例2 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BAD＋∠ADC＝180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF＋∠ADF＝∠BAD＋∠ADC＝（∠BAD＋∠ADC）＝90°.∴∠F＝90°. 同理∠H＝∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠AEB＝90°.∴四边形EFGH是矩形. 练一练3. 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°. ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 当堂反馈 1.C 2.　C　 3.　对角线相等的平行四边形为矩形　. 4.　矩形　　1∶2　 5.(1)证明：在△DCA和△EAC中， (2)　AD＝BC　∴△DCA≌△EAC(SSS). (2)解：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵CE⊥AE，∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD为矩形(此题答案不唯一). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $