23.4 第3课时 方案选择问题(2)（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一次函数的方案选择问题，通过租车、生产挖掘机等实际情境，引导学生将问题抽象为函数模型，结合一次函数性质确定最优方案，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动，培养学生抽象能力与模型意识，如租车问题中通过列不等式确定自变量范围，体现推理能力。采用归纳总结步骤化教学，学生提升应用数学解决问题的能力，教师可依托实例高效开展教学。

第二十三章 一次函数 第3课时 方案选择问题(2) 23.4 实际问题与一次函数 人教版八年级(下) 1. 结合实际问题，理解函数图象的意义.(重点) 2. 会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律，能根据函数图象构建合适的问题情境.(难点) 3. 能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质，感悟数形结合思想的应用. 素养目标 方案选 择问题 3.利用一次函数的增减性知识，选择出最佳方案 1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型） 2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围 复习导入 问题：某学校计划在总费用不超过 2300 元的情况下，租用客车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有 1 名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示. 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案． 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 追问1：租车的方案有哪几种？ 共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车； （3）甲种车和乙种车都租． 问题：某学校计划在总费用不超过 2300 元的情况下，租用客车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有 1 名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示. 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 追问3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 汽车总数不能小于 6 辆，不能超过 8 辆. 单独租甲种车要 6 辆，单独租乙种车要 8 辆. 240÷30 = 8 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 追问2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 240÷45＝ 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 追问4：要使 6 名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 说明了车辆总数不会超过 6 辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为 6 辆． 追问5：在问题3 中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？ 方法1：分类讨论——分 3 种情况； 方法2：设租甲种车 x 辆，确定 x 的范围. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 设租用 x 辆甲种客车，则租车费用 y (单位：元)是 x 的函数，即 怎样确定 x 的取值范围呢? x 辆 (6 - x)辆 y = 400x + 280(6 - x) 化简为 y = 120x + 1680 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 (1)为使240 名师生有车坐，可以确定 x 的一个范围吗？ (2)为使租车费用不超过2300元，又可以确定 x 的范围吗？ 结合问题的实际意义，你能有几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中的哪种方案？ 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 x 辆 (6 - x)辆 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 方案一：当 x＝4 时， 即租用 4 辆甲种汽车，2 辆乙汽车 y = 120×4 + 1680 = 2160 方案二：当 x＝5 时， 即租用 5 辆甲种汽车，1辆乙汽车 y = 6×400 = 2400 由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时 y 最小. 所以，为了最节省费用，应租用 4 辆甲种汽车，2辆乙汽车. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 【归纳总结】 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 【练一练】1. 某工程机械厂根据市场要求，计划生产 A、B 两种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少于 22400 万元，但不超过 22500 万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示： 型号 A B 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 (1) 该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ (2) 该厂如何生产获得最大利润？ (3) 根据市场调查，每台 B 型挖掘机的售价不会改变，每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m 万元( m > 0 )，该厂如何生产可以获得最大利润？(注：利润 = 售价 - 成本) 分析：可用信息： ①A、B 两种型号的挖掘机共 100 台； ②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元； ③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 解：(1) 设生产 A 型挖掘机 x 台，则 B 型挖掘机可生产 (100 - x) 台，由题意知： (1) 该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ ∴有三种生产方案：A 型 38 台，B 型 62 台； A 型 39 台，B 型 61 台；A型 40 台， B型 60 台. 解得 37.5≤x≤40 ∵ x 取正整数， ∴ x 为 38、39、40. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 ∴当 x = 38 时，W最大 = 5620 (万元). 即生产 A 型 38 台，B 型 62 台时，获得最大利润. (2) 该厂如何生产获得最大利润？ 分析：利润与两种挖掘机的数量有关，因此可建立利润与挖掘机数量的函数关系式. W = 50x＋60(100－x) = －10x＋6000 解：设获得利润为 W (万元)，由题意知： 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 (3) 根据市场调查，每台 B 型挖掘机的售价不会改变，每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m 万元(m > 0)，该厂如何生产可以获得最大利润？ 分析：在 (2) 的基础上，售价改变，则应重新建立利润与挖掘机数量的函数关系式，并注意讨论m 的取值范围. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 ③当 m＞10 时，取 x = 40，W 最大， 即 A 型挖掘机生产 40 台，B 型生产 60 台. 解：由题意知：W = (50＋m)x＋60(100－x) = (m－10)x＋6000 ∴① 当 0＜m＜10 时，取 x = 38，W 最大 ， 即 A 型挖掘机生产 38 台，B 型挖掘机生产 62 台； ②当 m = 10 时，m - 10 = 0，三种生产获得利润相等； 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 【归纳总结】 方案设计型问题的解题策略： 方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下： ①根据题意求出函数解析式； ②由图象、题设信息列不等式（组）求得自变量的取值范围； ③利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案. 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 【练一练】2. 抗旱救灾行动中，江津、白沙两地要向中山和广兴每天输送饮用水，其中江津每天输出 60 车饮用水，白沙每天输出 40 车饮用水，供给中山和广兴各 50 车饮用水.由于距离不同，江津到中山需 600 元／车，到广兴需 700 元／车；白沙到中山需 500 元／车，到广兴需 650 元／车．请你设计一个调运方案使总运费最低？此时总运费为多少元？ 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 广兴 50车 中山 50车 江津 60车 白沙 40车 (50－x) (60－x) x 650 500 700 600 解：设每天要从江津运 x 车到中山，总运费为 y 元. 由题意可得 y = 600x + 700(60－x) + 500(50－x) + 650(x－10) y = 50x + 60500 (x－10) 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 由 得 ∵ k＝50＞0 ，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝10 时，y 有最小值， y = 61000. 答:从江津调往中山 10 车，从江津调往广兴 50 车，从白沙调往中山 40 车，从白沙调往广兴 0 车，可使总费用最省，为61000元． ∴ 探究点：有限条件下的最优化问题 新知探究 抽象 构造 直线交点 图象间位置 限制条件 函数增减性 实际问题 (多个)函数模型 确定方案 课堂小结 1. 某辣椒批发商销售 A，B 两种不同品种的辣椒共 80 箱，进价和售价如表所示． 设该辣椒批发商采购了 A 种辣椒 x 箱，销售完所有辣椒获得的总利润为 y 元． 品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱) A 400 480 B 300 350 (1) 求 y 与 x 之间的函数解析式． 解：根据题意，得 y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)＝30x＋4 000， ∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000. 当堂反馈 根据题意，得 400x＋300(80－x)≤29 000，解得x≤50， ∵ y＝30x＋4 000，30>0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝50 时，y 有最大值， 最大值为 30×50＋4 000＝5 500. 答：购进 50 箱 A 种辣椒所获得的利润最大， 最大利润为5 500元． (2) 如果该批发商最多投入的成本为 29 000 元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润. 当堂反馈 2. 某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒.若购买 9 桶甲消毒液和 6 桶乙消毒液，则一共需要 615 元；若购买 8 桶甲消毒液和 12 桶乙消毒液，则一共需要 780 元. (1) 每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元? 当堂反馈 解：(1) 设每桶甲消毒液的价格为 x 元，每桶乙消毒液的价格为 y 元，由题意可得 答：每桶甲消毒液的价格为 45 元，每桶乙消毒液 的价格为 35 元. 当堂反馈 (2) 若该校计划购买甲、乙两种消毒液共 30 桶，其中购买甲消毒液 a 桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5 桶，又不超过乙消毒液的数量的 2 倍.怎样购买，才能使总费用 W 最少?并求出最少费用. 当堂反馈 (2) 由题意可得 W = 45a +35(30 - a) = 10a + 1050， ∴W 随 a 的增大而增大. ∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5 桶， 又不超过乙消毒液的数量的 2 倍， ∵a 为整数，∴当 a = 18 时，W 取得最小值， 此时 W = 1230，30 - a = 12. 答：购买甲消毒液 18 桶，乙消毒液 12 桶，才能使. 总费用 W 最少，最少费用是 1230 元. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $