23.4 第2课时 方案选择问题(1)（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一次函数的方案选择问题，通过超市促销、双11狂欢购等生活情境海报导入，引导学生从实际问题中抽象出函数关系，衔接一次函数解析式与图象知识，搭建从数学知识到实际应用的学习支架。 其特色在于以问题驱动学习，通过游泳馆套餐、电信方案等实例，引导学生建立分段函数模型，运用图象与解析式分析最优方案，培养抽象能力、运算能力和模型意识。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助清晰的解题策略和丰富实例优化教学。

第2课时 方案选择问题(1) 23.4 实际问题与一次函数 第二十三章 一次函数 人教版八年级(下) 1.进一步了解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用.(重点) 2.理解同一问题有不同的解决方案；掌握用一次函数选择最佳方案的方法. (难点) 3.通过运用一次函数解决有关实际问题，培养学生的运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 素养目标 情境导入 3 下表给出了某游泳馆 A，B，C 三种年卡套餐的收费标准. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1 200 50 40 C 1 800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 在套餐 A，B 中，游泳费用与年游泳次数有关，随着游泳次数的变化而发生变化，是游泳次数的函数； 在套餐 C 中游泳费用与年游泳次数无关. 套餐 C 的费用是固定的. 分析：(1) 选择套餐的依据是什么？ 根据省钱原则选择方案. (2) 要比较三种收费方式的费用，需要做什么？ 分别计算每种方案的费用. (3) A，B，C 三种方案中，所需要的费用是固定的还是变化的？ 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 （4）设年游泳 x 次，套餐 A，B，C 的游泳费用分别为 y1，y2，y3，请分别求出 y1，y2，y3 关于 x 的函数解析式，并画出函数图象. 在套餐 A 中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过 20 次和超过 20 次两种情况，得到刻画套餐 A 的游泳费用的函数解析式 600， 0≤x≤20， 600 + 40(x - 20)，x＞20. y1 = 化简,得 600， 0≤x≤20， 40x - 200，x＞20. y1 = 20 10 30 40 50 600 1200 1800 y1 y/元 x/次 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 在套餐 B 中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过 50 次和超过 50 次两种情况，得到刻画套餐 B 的游泳费用的函数解析式 在套餐 C 中，游泳费用与年游泳次数无关，套餐 C 的费用是固定的. y3＝1800. 函数图象如图所示. 1200， 0≤x≤50， 1200 + 40(x - 50), x＞50. y2 = 化简，得 1200, 0≤x≤50, 40x - 800,x＞50. y2 = 20 10 30 40 50 600 1200 1800 y1 y2 y3 y/元 x/次 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 当年游泳次数　 时， 选择套餐 C 能节省游泳费用. 结合函数图象和解析式填空： 当年游泳次数　 时， 选择套餐 A 能节省游泳费用； 当年游泳次数 时， 选择套餐 B 能节省游泳费用； 不超过 35 超过35而不超过65 超过 65 20 10 30 40 50 600 1200 1800 y1 y2 y3 y/元 x/次 40x - 200＝1200 当 y1＝y2 时， x＝35 当 y2＝y3 时， 40x - 80＝1800 x＝65 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 【归纳总结】方案选取型问题的解题策略： ①若给定自变量的取值，则将自变量的值代入解析式，得到函数值，再进行选取； ②若给定函数值，则将函数值代入解析式，得到自变量的值，再进行选取； ③若自变量、函数值均未给定取值： 方法一：可分别求出 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 的解(集)，再根据结果进行选取； 方法二：画出函数图象，求出交点坐标，再利用图象的上、下位置关系进行判断. 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 【练一练】1.电信局为满足不同客户的需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图 (MN∥CD)，若通话时间为 500 分钟，则应选择哪种方案更优惠(　　) A．方案 A B．方案 B C．两种方案一样优惠 D．不能确定 B 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 2. 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人 100 元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客六折优惠. 问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？ 分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社应付费用 80x (元)；按乙旅行社应付费用(60x + 1000) (元)．问题变为比较 80x 与 60x + 1000 的大小了． 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 解法一：设该单位参加旅游人数为 x. 那么选甲旅行社，应付费用 80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元). 记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1 与 y2 的图象交于点(50，4000). x/人 50 60 y/元 800 1600 3200 2400 4000 4800 5600 O 10 20 30 40 70 80 90 y1= 80x y2= 60x+1000 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 观察图象，可知： 当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为 51～100 人时，选择乙旅行社费用较少. x/人 50 60 y/元 800 1600 3200 2400 4000 4800 5600 O 10 20 30 40 70 80 90 y1= 80x y2 = 60x + 1000 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 解法二： （1）当 y1 = y2，即 80x = 60x + 1000 时，x = 50. 所以当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； （2）当 y1＞y2，即 80x＞60x + 1000 时， 得 x＞50. 所以当人数为 51～100 人时 ，选择乙旅行社费用较少； （3）当y1＜y2，即 80x＜60x + 1000 时，得 x＜50. 所以当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少； 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 3.某学校欲购置一批标价为 4 000 元的某种型号电脑，需求数量在 6 至 15 台之间．经与两家专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠送一台电脑，其余电脑打九折． 解：由题意可得 y甲＝4 000×0.8x＝3 200x (6≤x≤15). y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15). (1)分别写出两家专卖店的收费 y (元)关于所购电脑数量 x (台)的函数解析式； 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 当 3200x＝3 600x－3 600 时，解得 x＝9， 即当购买 9 台电脑时， 在两家专卖店的购买费用相同； 当 3200x < 3 600x－3 600 时，解得 x > 9， 即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算； 当 3200x>3 600x－3 600 时，解得 x < 9， 即当 6≤x≤8 时，买乙店电脑更合算． (2) 对 x 的取值情况进行分析，说明该学校购买哪家专卖店电脑更合算？ 探究点：运用一次函数的知识选择方案 新知探究 方案选 择问题 3.利用一次函数的增减性知识，选择出最佳方案 1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型） 2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围 课堂小结 1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费 y1 元，国营出租车公司收费为 y2 元，y1，y2 与 x 之间的函数关系图象如图所示.观察图象可知，当 x　 　 时，选用个体车较合算. ＞1500 当堂反馈 2. 如图，某电信公司提供了 A，B 两种方案的移动通讯费用 y (元)与通话时间 x (min)之间的关系，若通话时间超过 200 min，则 B 方案比 A 方案便宜_____元. 12 当堂反馈 3.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式： A 方案：每月收取基本月租费 15 元，另收通话费为0.2 元/分； B 方案：零月租费，通话费为 0.3 元/分. (1) 试写出 A，B 两种方案所付话费 y (元) 与通话时间t (分钟) 之间的函数关系式； 解：(1) A 方案：y1＝15＋0.2t (t≥0)， B 方案：y2＝0.3t (t≥0). 当堂反馈 (2) 在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方式合算. （2）这两个函数的图象如图所示.观察图象，可知： 当通话时间为 150 分钟时，选择 A 或 B 方案费用一样； 当通话时间少于 150 分钟时，选择 B 方案合算； 当通话时间多于 150 分钟时，选择 A 方案合算. 当堂反馈 4. 李老师准备购买某款硬皮笔记本．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价均为 10 元．李老师选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲店：购买数量超过 30 本，超过部分打九折出售； 乙店：购买数量超过 50 本，超过部分打八折出售． 当堂反馈 解：当 x > 30 时， y1＝10×30＋10×0.9(x－30)＝9x＋30， 当 x > 50 时，y2＝10×50＋10×0.8(x－50)＝8x＋100， 令 9x＋30＝8x＋100，解得x＝70， 此时 y1＝y2＝660， ∴点 M 的坐标为 (70，660)． 设李老师购买 x ( x > 0 )本笔记本，在甲店购买所花费用为 y1 元，在乙店购买所花费用为 y2 元，其函数图象如图所示． (1)求图中点 M 的坐标； 当堂反馈 当 50 < x < 70 时，应选择甲店购买； 当 x＝70 时，在两家商店购买所花费用相同， 任选一家购买即可； 当 x > 70 时，应选择乙店购买． (2)当 x > 50 时，根据图象直接写出李老师应选择哪家商店购买笔记本． 当堂反馈 5.某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证 100 元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 15 元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费 20 元．设小明计划今年夏季游泳次数为 x 次( x 为正整数)． 当堂反馈 解：由题意，得 y1＝100＋15x，y2＝20x. (2) 设方式一的总费用为 y1元，方式二的总费用为 y2 元，用 x 表示 y1 和 y2； (1) 根据题意，将表格填写完整； 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用/元 250 325   … 方式二的总费用/元 200   400 … 400 300 当堂反馈 当 x＝19 时，y1＝100＋15×19＝385， y2＝20×19＝380，∴ y1 > y2，∴ 选择方式二较合算； 当 x＝21 时，y1＝100＋15×21＝415， y2＝20×21＝420，∴ y1 < y2，∴ 选择方式一较合算． 综上所述，当 x＝19 时，选择方式二 较合算，当 x＝21 时，选择方式一较合算． (3)通过计算说明，当 x＝19 和 x＝21 时，分别选择哪种付费方式较合算． 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $