23.4 第1课时 分段函数问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“实际问题与分段函数”，通过复习一次函数解决问题步骤，结合注水倒空情境导入，搭建从一次函数到分段函数的学习支架，帮助学生理解分段函数概念及应用。 其亮点在于以生活实例（如玉米种子购买、水费计算）为载体，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理分析的能力，通过“定类型-设式-列方程-结论”四步法总结方法，助力学生形成建模意识，也为教师提供清晰教学流程与实例，提升教学效率。

23.4 实际问题与一次函数 第二十三章 一次函数 第1课时 分段函数问题 人教版八年级(下) 1. 能根据实际问题中的文字信息或图象信息，建立分段函数模型. (重点) 2. 能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题. (难点) 3. 在应用一次函数解决问题的过程中，渗透数形结合的数学思想. 素养目标 思考：在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如何用一次函数解决实际问题呢？ ①将实际问题抽象为一次函数问题； ②根据条件求得一次函数的解析式； ③结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 复习导入 探究：有一个容积为 2 升的圆柱形开口空瓶，小明以 0.8 升/秒的速度匀速向空瓶注水，注满后停止，等 3 秒后，再以 1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水，设所用时间为 x秒，瓶内水的体积为 y 升，y 与 x 的函数关系图象如图所示，则图中　 　　 　 a＝ ；b＝ ； c＝ ； 2.5 7.5 5.5 x O y c b a 2 情境导入 探究点：分段函数的应用 问题1：该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？ 既不是正比例也不是一次函数，这是分段函数. 分段函数：在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或函数图象时，要根据自变量的取值范围分段描述，这种函数通常称为分段函数. x O y 7.5 5.5 2.5 2 新知探究 问题2：该函数分成了几段？ 3段 问题3：怎样求该函数的解析式呢？ 该函数分成了三段，所以应根据自变量的不同取值范围，求其对应的函数关系的表达式. x O y b 7.5 2.5 2 探究点：分段函数的应用 新知探究 分析：当 0≤x＜2.5 时，该图象为经过原点的线段，可知这段图象对应的为正比例函数图象，所以其对应的解析式为正比例函数解析式. 解：当 0≤x≤2.5 时，可设此时函数解析式为 y = k1x. ∵图象经过了 (2.5，2)， ∴代入可得 2 = k1×2.5， x O y 7.5 5.5 2.5 2 解得 k1 = 0.8. 即 y = 0.8x. 探究点：分段函数的应用 新知探究 分析：当 2.5＜x≤5.5 时，该图象为平行 x 轴的线段，即在此范围内，函数值始终不变，易得此时函数解析式为 解：当 2.5＜x≤5.5 时，y = 2. x O y 7.5 5.5 2.5 2 分析：当 5.5＜x≤7.5 时，该图象为一条不过原点的线段，可知这段图象对应的为一次函数函数图象，所以其对应的解析式为一次函数解析式. 探究点：分段函数的应用 新知探究 x O y 7.5 5.5 2.5 2 当 5.5＜x≤7.5 时，可设此时函数解析式为 y = k2x + b， ∵图象经过了(5.5，2)和(7.5，2) 即 y = -x + 7.5. 综上所述：此函数图象的解析式为 可得 5.5k2 + b = 2， 7.5k2 + b = 2， 解得 k2 = -1， b = 7.5， y = 0.8x ( 0≤x≤2.5 )， 2 ( 2.5＜x≤5.5)， -x + 7.5 ( 5.5＜x≤7.5 ) 探究点：分段函数的应用 新知探究 对于分段函数， 一要注意自变量的取值范围， 二要注意分段讨论. 同时，在看图获取信息时，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中的一些关键点（起点、终点、拐点）所反映出来的信息. 【归纳总结】 探究点：分段函数的应用 新知探究 例1 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折. (1) 写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元? 探究点：分段函数的应用 新知探究 购买种子量 y = 40x y = 80 + 24(x - 2) = 24x + 32 例1 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分_________ 和 讨论. 分析：从题目可知，种子的价格与 有关. 若购买种子量为 x＞2 时，种子价格 y 为： . 若购买种子量为 0≤x≤2 时，种子价格 y为： . 0≤x≤2 x＞2 探究点：分段函数的应用 新知探究 解：(1) 设购头量为 x kg，付款金额为 y 元. 当 0≤x≤2 时，种子价格为 40 元/kg， 函数解析式为 y = 40x； 函数图象如图所示. 函数解析式为 y = 40x + 24(x－2) = 24x + 32. 当 x＞2 时，购买的种子中有 2 kg 按 40 元/kg计价. 其余的 (x－2) kg (即超出 2 kg 部分) 按 24 元/kg (即六折) 计价， 1 2 3 20 40 60 80 100 x/kg y/元 y=24x+32 y=40x 函数解析式也可以合起来表示为 24x + 32，x＞2. 40x，0≤x≤2， y = 探究点：分段函数的应用 新知探究 (2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元? 1 2 3 20 40 60 80 100 x/kg y/元 y=24x+32 y=40x (2)因为 4＞2， 所以 y = 24×4 + 32 = 128. 因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元. 探究点：分段函数的应用 新知探究 【练一练】1.为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过 16 m3 时，使用费为每立方米 1.3 元；超过 16 m3 时，超过部分的使用费为每立方米 2.0 元；污水处理费为每立方米 1.2 元，设一户每月用水 x m3，应缴水费为 y 元. （1）写出 y 与 х 之间的函数表达式； 分析：用水以 16 m3 为界，分成两段，收费标准不一样：当 0≤x≤16 时，每立方米收费 (1.3 + 1.2) 元；当 x >16 时，超过部分每立方米收费 (2.0 + 1.2) 元. 探究点：分段函数的应用 新知探究 （2）画出上述函数的图象； 解 (1)当 0≤ x≤16 时，y = (1.3 + 1.2)x = 2.5x. 当 x＞16 时， y = (1.3 + 1.2)×16 + (2.0 + 1.2)(x - 16) = 3.2x - 11.2. y 与 х 的函数表达式可表示为： 2. 5x， 0≤x≤16， 3.2x - 11.2， x＞16. y = （1）写出 y 与 х 之间的函数表达式； x/m3 y/元 探究点：分段函数的应用 新知探究 (3) 某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费； (3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 . 当 x = 20 时，y = 3.2×20 - 11.2 = 52.8. 答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元. (4) 某一户某月缴水费 59.2 元，求该户这个月的用水量. (4)因为59.2＞2.5×16，所以该户这个月用水超过 16 m3. 因此，3.2x - 11.2 = 59.2. 解得 х = 22. 答：该户这个月的用水量为 22 m3. 2. 5x， 0≤x≤16， 3.2x - 11.2， x＞16. y = 探究点：分段函数的应用 新知探究 【方法归纳】 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程． 探究点：分段函数的应用 新知探究 【练一练】2.为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费 y 元与月用电量 x kW·h 的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题： (1)求出 y 与 x 之间的函数表达式； 探究点：分段函数的应用 新知探究 解：(1) 当 0≤x≤100 时，设 y = k1x. 把 (100，65) 代入，得 100k1= 65， 解得 k1 = 0.65， 所以 y = 0.65x. 当 x > 100 时，设 y = k2x + b. 把 (100，65)，(130，89) 分别代入， 得 100k2+ b = 65， 130k2+ b = 89. 解得 k2 = 0.8， b =－15. 所以 y = 0.8x－15. 所以y与x之间的函数表达式为 0.65x，(0≤x≤100)， 0.8x－15，(x＞100). y = 探究点：分段函数的应用 新知探究 (2)若某用户某月应缴电费 105 元，则该用户当月用了多少电？ (2) 因为 105 > 65，所以 x > 100. 将 у = 105 代入 y = 0.8x－15， 得 0.8x－15 = 105， 解得 x = 150. 所以该用户当月用了 150 kW·h电. 探究点：分段函数的应用 新知探究 ①定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点， 先确定函数的类型； ②设函数式：设出函数的解析式； ③列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)， 求出该段内的解析式； ④下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变 量的取值范围. 由分段函数的图象确定函数解析式的方法： 探究点：分段函数的应用 新知探究 分段函数 分段函数的具体应用 对分段函数图象的理解 课堂小结 1.歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地.某快递公司的收费标准为：物品不超过 3 kg需付 13 元，以后每增加 1 kg(不足 1 kg按 1 kg计)需增加托运费 1.5 元.直接写出歇马杏的托运量 x (单位：kg)(x＞3)与托运费用 y (单位：元)的函数关系式 为　 　. y＝1.5x＋8.5 当堂反馈 2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 3～10 km的出行市场.图中反映某共享电动车平台收费 y (单位：元)与骑行时间 x (单位：min)之间的函数关系，根据图中的信息，某天王老师从家到学校一共骑行 40 分钟，则需要向平台付费　 　元. 12 当堂反馈 3.某日，王爷爷准备了 80 kg 苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用.他按市场价售出 50 kg 苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完.已知王爷爷手机电子钱包中的零钱总额 y (单位：元) (含原有零钱)与售出水果的千克数 x 的关系如图所示，请结合图象回答问题： 当堂反馈 （1）王爷爷的电子钱包中原有零钱　 　元； （2）苹果降价前每千克　 　元，降价后每千克　　元； （3）请求出 y 关于 x 的函数解析式. 解：当 0≤x≤50 时，y＝12x＋80； 当 50＜x≤80 时， y＝10(x－50)＋680＝10x＋180. 综上，y 关于 x 的函数解析式为 80 12 12 y = 12x + 80， 0≤x≤50； 10x + 180，50＜x≤80. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $