23.3 一次函数与方程、不等式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一次函数与方程、不等式的转化关系及数形结合思想，通过“数学王国家庭聚会”情境导入，以“x + y = 5”归属问题引发思考，衔接已学一次函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过“思考-例题-归纳-练习”链条，结合函数图象与方程、不等式互化，培养数学眼光（抽象能力）、思维（推理意识）和语言（模型观念）。如气球高度问题用函数解决实际问题，助学生深化理解，教师可借清晰结构提升教学效率。

23.3 一次函数与方程、不等式 第二十三章 一次函数 人教版八年级(下) 1. 理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系.(重点) 2. 能初步运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过函数图象求方程（组）的解、不等式的解集，利用一次函数图象的性质，解决实 际问题.(难点) 3. 掌握用图象求解方程（组）、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用.(难点) 素养目标 　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 到我这里来 到我这里来 x + y = 5 这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？ 情境导入 思考：如图，一次函数 y = 2x - 1 的图象与 x 轴交点的横坐标是 0.5. 当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？ -1 -0.5 0.5 0.5 y = 2x - 1 一次函数 y = 2x - 1的图象与轴交点的横坐标为 0.5，纵坐标为 0. 这表明当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是 0. 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 由此可以得出一元一次方程 2x - 1 = 0 的解吗? -1 -0.5 0.5 0.5 y = 2x - 1 从函数图象看：求一次函数 y = 2x - 1与 x 轴交点的横坐标. 从函数值看：当 y = 0 时，求 x 的值. x = 0.5. x 轴交点的横坐标为 0.5. 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0 的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗? 一次函数 y = kx+b 中，y = 0时 x 的值 从“函数值”看 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 求直线 y = kx+b 与 x 轴交点的横 坐标 从“函数图象”看 【归纳总结】 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____. -10 0 -10 2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，_____). 5 0 【练一练】 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 思考：如图，利用一次函数 y = 2x - 1 的图象，你能得出函数值大于 0 时 x 的取值范围吗？函数值小于 0 时呢？ -1 -0.5 0.5 0.5 y = 2x - 1 函数值大于 0 时，x 的取值范围是 x＞0.5； 函数值小于 0 时，x 的取值范围是 x＜0.5. 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 思考：由此，你能分别得出一元一次不等式 2x - 1＞0 与 2x - 1＜0 的解集吗? 从函数图象看：确定直线 y = 2x - 1 在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x 取值范围 从函数值看：当 y = 2x - 1的值大于(或小于) 0 时，求 x 的取值范围. -1 -0.5 0.5 0.5 y = 2x - 1 2x - 1＞0，则 x＞0.5 2x - 1＜0，则 x＜0.5 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 求 kx+b＞0(或<0) (k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值 大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 从“函数值”看 求kx+b＞0(或＜0) (k ≠ 0)的解集 确定直线y = kx + b 在 x 轴上方(或下 方)的图象所对应的 x 取值范围 从“函数图象”看 一次函数与一元一次不等式的关系 【归纳总结】 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求： 解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y (1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集； (2) 当 x 取何值时，y < 3? 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 解：(1)由图象可知，不等式 -3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2； 不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2； x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y (2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3. (1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集； (2) 当 x 取何值时，y < 3? 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 新知探究 探究点1：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式 3. 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示. (1)关于 x 的方程 kx + b = 9 的解为　 ； (2)关于 x 的不等式 kx + b < 9 的解集为　 . x = -6　 x > -6　 【练一练】 新知探究 思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 二元一次方程 y = 2x - 1 用函数观点看 从式子（数）角度看： 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 一次函数 y = 2x - 1 二元一次方程 2x - y = 1 用方程观点看 有相同的解 新知探究 y = 2x - 1 对应一次函数 y = 2x - 1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y) 都是方程 2x - y = 1 的解，以方程 2x - y = 1 的解 (x，y) 为坐标的点都在这条直线上. 一次函数y = 2x - 1 直线y = 2x - 1 二元一次方程 2x - y = 1 点的坐标满足函数解析式 满足函数解析式的数对为坐标画点 用函数观点看 用方程观点看 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 思考：对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 2x－y＝l， 3x＋5y＝8， 分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y＝2x－l 与 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. y 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 观察 在坐标系中分别画出两条直线 y＝2x－l 和 . 1.它们的交点坐标_____________. 2.方程组 的解 是____________. 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. (1，1) y 2x－y＝1， 3x＋5y＝8 y＝2x－l y 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 “数”的角度 “形”的角度 两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)， y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值⇔二元一次方程组 的解 直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 (m，n) ⇔二元一次方程组 的解为 x = m，y = n 一次函数与二元一次方程组的关系 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 例1 同时释放两个探测气球，1 号气球从距离地面 5 m 处出发，以 1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面 15 m 高处出发，以 0.5 m/s 的速度上升．两个气球都上升了 1 min． (1) 分别写出表示两个气球所在位置 的高度 y (单位：m) 与气球上升时间 x (单位：s) 的函数解析式． (2) 两个气球在某时刻能否位于 同一高度？如果能，这时气球上升了 多长时间？位于什么高度？ h1 h2 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 解：(1) 气球上升时间 x 满足 0≤x≤60. (1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度 y (单位：m) 与气球上升时间 x (单位：s) 的函数解析式． h1 h2 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 对于 2 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = 0.5x + 15. 对于 1 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x + 5. 新知探究 (2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ (2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x 的某个值 (0≤x≤60)，函数 y = x + 5 和 y = 0.5x + 15 有相同的值 y. 由此可以列二元一次方程组 y = x + 5， y = 0.5x + 15 解这个方程组，得 x = 20， y = 25. 这就是说，当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m. 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 (2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ A(20，25) 30 25 20 15 10 5 10 20 y = x + 5 y = 0.5x + 15 15 5 O x y 这两条直线的交点坐标为 (20，25)，这说明当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m. 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 观察函数图象，直接回答下列问题： （1）在什么时候，1 号气球比 2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比 1 号气球高？ 气球1 海拔高度：y = x + 5 气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15 （1）20 s 后，1 号气球比 2 号气球高. （2）0 ~ 20 s 时，2 号气球比 1 号气球高. 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 例2 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标. 分析：由函数图象可以求直线 l1 与 l2 的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 解方程组 y = 2x + 2， y = - x + 3， 解：因为直线 l1过点 (-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理 可求得直线 l2 的解析式为 y = - x + 3. 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 例3 如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3). (1) 求 m，a 的值； 解：把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得， －m－1＝－3，解得 m＝2， ∴点 P 的坐标为 (2，－3)， ∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P， ∴ 2a＋4＝－3. 解得 x O y P A B y＝－x－1 y＝ax＋4 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 (2) 根据图象，直接写出不等式 －x－1＞ax＋4 的解集. 由图象得， 不等式 －x－1＞ax＋4 的解集为 x＞2. x O y A B y＝－x－1 y＝ax＋4 P(2，－3) 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 4. 如图，根据图中信息解答下列问题: (1)关于 x 的不等式 ax + b > 0 的解集是　 　； (2)关于 x 的不等式 mx + n < 1 的解集是　 　； (3)当 x 为何值时，y1≤y2? (4)当 x 为何值时，0＜y2＜y1? 解: (3) x≤1. (4) 1＜x＜2. x＜2 x＜0 探究点2：二元一次方程（组）与一次函数 新知探究 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与________的横坐标 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大(小)于 0 时，求自变量的取值范围，即在_______________的图象所对应的 x 取值范围 解二元一次方程组 求对应两条直线____________ x 轴交点 x 轴上方 (或下方) 交点的坐标 课堂小结 1. 如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A，B两点， 则不等式kx＋b＞0的解集是(　A　) A. x＞－2 B. x＞3 C. x＜－2 D. x＜3 第1题图 A 当堂反馈 2. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点 坐标为(2，0)，则关于x的方程kx＋b＝0的解为 x＝ ；kx＋b＞0的解集为 ； kx＋b≤0的解集为 . 第2题图 2　 x＜2　 x≥2　 当堂反馈 3. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则一次函数y＝ax＋b和y＝kx 的图象交点坐标为 . (－4，2)　 当堂反馈 (1)求m，n的值； 解：(1)把P(1，2)代入y＝x＋n－2得1＋n－2＝ 2，解得n＝3； 把P(1，2)代入y＝mx＋3得m＋3＝2，解得m＝－ 1. ∴m＝－1，n＝3. 解：(1)把P(1，2)代入y＝x＋n－2得1＋n－2＝2， 解得n＝3； 把P(1，2)代入y＝mx＋3得m＋3＝2， 解得m＝－1. ∴m＝－1，n＝3. 4. [高频易错]如图，已知直线l1：y＝x＋n－2与直 线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2). 当堂反馈 (2)请结合图象直接写出不等式mx＋n＞x＋n－2 的解集. 解：(2)不等式mx＋n＞x＋n－2的解集为x＜1. (2)不等式mx＋n＞x＋n－2的解集为x＜1. 4. [高频易错]如图，已知直线l1：y＝x＋n－2与直 线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2). 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $